Aplicación del criterio de la SEGUNDA derivada (6)

Hallamos los ceros de la derivada

$$\begin{align}&f(x)=x^3e^x+x^2e^x-1\\ &\\ &f´(x) = 3x^2e^x+x^3e^x+2xe^x+x^2e^x=\\ &\\ &(x^3+4x^2+2x)e^x=0\end{align}$$

e^x es siempre positivo luego los ceros son los del polinomio

El primer cero es x= 0

Dividimos entre x y queda

x^2+4x +2 = 0

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{16-8}}{2}=-2\pm \sqrt 2$$

Ahora calculamos la derivada segunda para ver el signo

$$\begin{align}&f´(x)=(x^3+4x^2+2x)e^x\\ &\\ &f´´(x)= (3x^2+8x+2)e^x+(x^3+4x^2+2x)e^x=\\ &\\ &(x^3+7x^2+10x+2)e^x\end{align}$$

Lo más fácil sería tirar de calculadora, pero vamos a intentar hacerlo sin ella

$$\begin{align}&x^3+7x^2+10x+2\\ &\\ &(-2-\sqrt 2)^3 +7(-2-\sqrt 2)^2+10(-2-\sqrt 2)+2=\\ &\\ &-8-12 \sqrt 2-12-2 \sqrt 2+28+28 \sqrt 2+14-20-10 \sqrt 2+2=\\ &\\ &4+4 \sqrt 2>0\\ &\\ &Luego -2-\sqrt 2\text{ es un mínimo}\\ &\\ &(-2+\sqrt 2)^3 +7(-2+\sqrt 2)^2+10(-2+\sqrt 2)+2=\\ &\\ &\\ &-8+12 \sqrt 2-12+2 \sqrt 2+28-28 \sqrt 2+14-20+10 \sqrt 2+2=\\ &\\ &4-4 \sqrt 2<0\\ &\\ &Luego -2+\sqrt 2\text{ es un máximo}\\ &\\ &\text{Y en 0 el valor es 2 y es un mínimo}\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.