Problema de trigonometría - urgente, por favor -

Hola. Te hago una consulta que puede parecerte ridícula, pero por favor necesito la respuesta ya mismo.
Tengo un problema de matemáticas en el que se me piden los tres lados de un triángulo del cual se me dan dos ángulos (30 y 40 grados respectivamente) y su área (18 centímetros). Por más vueltas que le doy no sé por dónde se encuentra el camino hacia la solución.
Muchísimas gracias de antemano.
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Respuesta
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Como estas tu repuesta la tengo, pero solo tengo una duda y es si tu ya
diste trigonometría, porque es por ahí donde la resolví, ¿sino mandame un
e-mail a [email protected], y yo te ayudo ok?
Bueno comienza poniendo los ángulos de 30 y 40 en la base, entonces el de el
vértice sup es 110 por resta de angulo int. De un triangulo, ese no lo utilizamos.
Ahora manda una linea desde el vértice de 110 recta a la base, esa es la altura
del triangulo la altura desde ahora la voy a llamar "h" ok. la base entonces queda dividida en dos, una parte llamala "x" y la otra "z" entonces la base sera la suma de X + Y
ahora por trigonometria decimos que cos 30 = h/x y cos 40 = h/y
entonces x = h / cos 30 y = h / cos 40 (despejando X y Y)
y ahora decimos que el area del triangulo = B*H/2 pero ya sabemos que la base es X + Y entonces A=18= ( X +Y ) * H/2
remplazamos X y Y
18 = ( (h/cos30) + (h/cos40))*h/2
sacamos el facor comun h de los quebrados y queda:
18 = ( h (1/cos30+1/cos40))*h/2
multiplicamos los h y realizamos el quebrado
18= h^2 ((cos30+cos40)/(cos30*cos40))/2 (h^2 es h al cuadrado)
resolviendo el fraccionario queda:
18=h^2 (2.46)/2 ahora dividiendo
18=h^2(1.23) ahora pasamos 1.23 a dividir y quedaría
h^2= 14.63 sacamos raíz cuadrada a ambos miembros y queda:
h=3.825376442 (que es la altura)
nota: te doy todo el valor para cuando realizes la dms. te de 18
ahora la base= X + Y = (3.825376442/cos30)+(3.825376442/cos40)
b= 9.410838528
Para saber si eso es real hacemos la dms. Con el área del triangulo y debe dar 18 entonces:
Area = (3.825376442*9.410838528)/2= 36/2 = 18 (dms. real)
ahora los otros lados del triangulo hacemos
A= h/sen30 = 3.825376442/sen30 =7.65
y el otro lado seria
B = h / sen 40 = 3.825376442/sen40 = 5.95
Y esos son tus tres lados ( 5.95 - 7.65 - 9.41...)
¿Si tienes alguna duda ya sabes ok?
No puedes usar el coseno si no conoces ni h ni la hipontenusa. Esos datos que me has dado son de la tangente. ¿Puedes mirar el dibujo que te he mandado a tu email?
Muchas gracias por tu tiempo.
Muchas gracias. Lo he comprendido. Tenías razón. Con la tangente de 45º también sale. Muchísimas gracias. Muchas muchas muchas gracias. Espero poder contar contigo para mis futuras consultas. Muy atentamente,
Ricardo Cervera Navarro.
Respuesta
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Es bastante larga. Voy a utilizar los teoremas más básicos:
Considera el triángulo con base en el lado más grande (el opuesto a 110º) Al trazar la altura h quedan dos nuevos triángulos, uno de lados a (hipot), por (base) y h (altura) y ángulos 90, 30 y 60. El otro, de lados b (hipot), y (base) y h (altura) y ángulos 90, 40 y 50.
Al sumar las áreas ha de dar 18 : x.h/2 + yh/2 = 18
Por otro lado : tg30º = h/x h = 0.58x tg 40º = h/y h=0.84y
Igualando y despejando, queda: y = 0.69x . Sustituyendo estos valores en la primera ecuación, tenemos:
(x+ 0.69x)o.58x = 36, de donde: 0.98x(al cuadrado) = 36 , de donde x = 6.06
De aquí se deduce que y = 4.17, con lo que el lado de la base del triángulo original es x + y = 10.23.
Para hallar los otros dos lados, a y b se aplica dos veces el Teorema de Pitágoras, con lo que a = SQR(.......) = 7 y b = SQR(.......) = 5.44 ... y así tenemos los tres lados.
Perdona pero no´sé escribir los cuadrados con el teclado. Que te aproveche.
El procedimiento lo conozco, pero es que no es 40 grados sino 45 grados, y cualquier relación en torno a la tangente de 45 grados me termina anulando la ecuación al sustituir. ¿Puedes resolverlo tú con 45? Gracias por tu tiempo.
Si decides cambiar 40 por 45, el problema es aún más fácil, pues sl ser tg45º = 1 tenemos que 1 = h/y con lo cual es h = y.
En la ecuación inicial será:
xy/2 +yy/2 = 18 o sea: xy + y(al cuadrado) = 36
Como es tg30º = y/x, será y = sqr(3)/2 . x
Sustituyendo en la ecuación inicial queda
x(al cuadrado) = 144/(2sqr(3) + 3) = 22.2768.. es decir x = 4.72
Por tanto y =4.09 y ya sabes, dos veces Pitágoras y obtienes
a =6.25 b = 5.78
Si no te sale aún aún así, dime en donde dejas de coincidir con mis cálculos.
Al final entendí el problema. Tus indicaciones me ayudaron mucho. Supongo que intenté verlo más difícil de lo que era en realidad. Espero poder contar contigo para futuras consultas. Muchas gracias por la atención que me has dedicado.

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