Criterio de concavidad

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Usuario

Saludos, podrían ayudarme de favor .......... gracias.

 

Encuentra en cada una de las funciones los intervalos en los cuales son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavas hacia abajo. 

 

1) f(x) = x^4-x^2

2) f(x) =      x      

               x^2+2

3) f(x) =  x^2-1

              x^2+1

4) f(x) = sqrt (x^2-9)

 

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Experto

¡Hola Cderouin!

 

Ahora me pongo a contestarla.

Un saludo.

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Experto

La concavidad o convexidad, (o concavidad hacia arriba y hacia abajo) que nunca ha habido acuerdo sobre cuál era cuál, la determina la derivada segunda.  Si la derivada segunda es positiva es cóncava hacia arriba y si es negativa es cóncava hacia abajo

1) f(x) = x^4-x^2

f '(x) = 4x^3 - 2x

f ''(x) = 12x^2 - 2

Calculamos las raíces

12x^2 - 2= 0

12x^2 = 2

x^2 = 1/6

x = -sqrt(1/6) y +sqrt(1/6)

La derivada segunda es un polinomio de grado 2 con coeficiente director positivo, luego tiene valores positivos a los lados de las raíces y negativos entre ellas, asi que

en (-oo, -sqrt(6)) U ((sqrt(6), +oo) es cóncava hacia arriba 

en (-sqrt(6), + sqrt(6)) es cóncava hacia abajo.

 

La norma es un ejercicio por pregunta y más si ya son complicados.  Porque me parece que el segundo y tercero tienen numerador y denominador, eso complica bastante la derivada segunda.

 

Luego mándame si quieres cada uno de los tres que queda en una pregunta propia.

Un saludo

Usuario

saludos

 

veo que la segunda derivada quedo como   x= +- sqrt(1/6) y al hacer el planteamiento final quedo como (-00, -sqrt (6)) o ((sqrt(6), +00), etc

en definitiva sería con 1/6 o 6 en el planteamiento final ?

gracias por la aclaración

 

en cuanto a los demás ejercicios los voy a enviar por separado como dices 1 por 1

 

 

 

 

Usuario

es lo mismo    +-sqrt(1/6) y +- 1/sqrt (6)  ????

 

gracias

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Experto

No, no es lo mismo, ha sido un fallo mío.  Lo que vale es lo primero que puse y después me confundí al transcribirlo.

La respuesta es:

en (-oo, -sqrt(1/6)) U ((sqrt(1/6), +oo) es cóncava hacia arriba
en (-sqrt(1/6), + sqrt(1/6)) es cóncava hacia abajo.

Perdón por el fallo.

Un saludo.