Criterio de concavidad

Saludos, podrían ayudarme de favor .......... Gracias.

Encuentra en cada una de las funciones los intervalos en los cuales son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavas hacia abajo.

1) f(x) = x^4-x^2

2) f(x) = x

x^2+2

3) f(x) = x^2-1

x^2+1

4) f(x) = sqrt (x^2-9)

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Respuesta
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Ahora me pongo a contestarla.

La concavidad o convexidad, (o concavidad hacia arriba y hacia abajo) que nunca ha habido acuerdo sobre cuál era cuál, la determina la derivada segunda. Si la derivada segunda es positiva es cóncava hacia arriba y si es negativa es cóncava hacia abajo

1) f(x) = x^4-x^2

f '(x) = 4x^3 - 2x

f ''(x) = 12x^2 - 2

Calculamos las raíces

12x^2 - 2= 0

12x^2 = 2

x^2 = 1/6

x = -sqrt(1/6) y +sqrt(1/6)

La derivada segunda es un polinomio de grado 2 con coeficiente director positivo, luego tiene valores positivos a los lados de las raíces y negativos entre ellas, asi que

En (-oo, -sqrt(6)) U ((sqrt(6), +oo) es cóncava hacia arriba

En (-sqrt(6), + sqrt(6)) es cóncava hacia abajo.

La norma es un ejercicio por pregunta y más si ya son complicados. Porque me parece que el segundo y tercero tienen numerador y denominador, eso complica bastante la derivada segunda.

Luego mándame si quieres cada uno de los tres que queda en una pregunta propia.

saludos

veo que la segunda derivada quedo como x= +- sqrt(1/6) y al hacer el planteamiento final quedo como (-00, -sqrt (6)) o ((sqrt(6), +00), etc

en definitiva sería con 1/6 o 6 en el planteamiento final ?

gracias por la aclaración

en cuanto a los demás ejercicios los voy a enviar por separado como dices 1 por 1

es lo mismo +-sqrt(1/6) y +- 1/sqrt (6) ????

gracias

No, no es lo mismo, ha sido un fallo mío. Lo que vale es lo primero que puse y después me confundí al transcribirlo.

La respuesta es:

En (-oo, -sqrt(1/6)) U ((sqrt(1/6), +oo) es cóncava hacia arriba
en (-sqrt(1/6), + sqrt(1/6)) es cóncava hacia abajo.

Perdón por el fallo.

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