Ejercicio de calculo integral

Consiste en dividir e intervalo en n trozos iguales. En cada trozo se halla el área como producto de la anchura por el valor de la función y se suman estas áreas. Puesto que vamos a hacer todos los trozos de igual anchura sacaremos el ancho de factor común

$$\begin{align}&\int_a^b e^xdx = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{b-a}{n} \right)\sum_{i=0}^{n-1}e^{a+\frac{i(b-a)}{n}}=\\ &\\ &\\ &\text{veo que quedó muy pequeño el exponente, lo escribo}\\ &\text{de nuevo por si no se distingue}\\ &exponente = a+\frac{i(b-a)}{n}\end{align}$$

El editor de ecuaciones es horrible para escribir explicaciones largas porque te vas por la derecha sin darte cuenta y es que te vas queda comido y a veces muy difícil de ver. Por eso me salgo y lo que no tenga mucha ventaja hacerlo lo escribiré sin el editor de ecuaciones.

Si te fijas en los sumandos, verás que están en una progresión geométrica, cada uno es el anterior multiplicado por una razón que es

r=e^[(b-a)/n]

Podemos calcular ese sumatorio usando la fórmula para la suma de n términos de una progresión geométrica que dice

$$\begin{align}&S_n=a_1 \frac{r^n-1}{r-1}=e^a \frac{e^{b-a}-1}{e^{\frac{b-a}{n}}-1}\\ &\\ &\int_a^be^xdx=(b-a)e^a(e^{b-a}-1)lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n \left(e^{\frac{b-a}{n}}-1 \right)}=\\ &\\ &\frac{(b-a)(e^b-e^a)}{\lim_{n \to +\infty}n \left(e^{\frac{b-a}{n}}-1 \right)}=\end{align}$$

Y ese límite yo no sé hasta que punto lo tendréis por directo o no. Hace pocos días debatía con otro usuario si puede hallarse por "artificios matemáticos" o hay que usar la regla de l'Hôpital o fórmula de Taylor. Yo voy a demostrarlo con l'Hôpital:

$$\begin{align}&\lim_{x \to +\infty}x(a^{k/x}-1) = \lim_{x \to +\infty}\frac{a^{k/x}-1}{\frac 1x}=\\ &\\ &\text{derivamos numerador y denominador}\\ &\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{-a^{k/x}·ln\,a·(k/x^2)}{-1/x^2}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to +\infty}k·ln\,a·a^{k/x}= k·ln\,a\\ &\end{align}$$

Con este resultado acudimos a la integral que estábamos haciendo

$$\begin{align}&\int_a^be^xdx = \frac{(b-a)(e^b-e^a)}{\lim_{n \to +\infty}n \left(e^{\frac{b-a}{n}}-1 \right)}=\\ &\\ &\frac{(b-a)(e^b - e^a)}{(b-a)ln \;e}= e^b-e^a\end{align}$$

Y eso es todo.