BIgualdades de productos de matrices
Sean las matrices A, B, C y D
¿A*B*C*C*C*A=D*C*C*A*B implica que A*B*C=D*B?
Es decir una igualdad de productos de matrices se puede simplificar de alguna manera?
1 Respuesta
De la igualdad que has puesto no se puede deducir nada.
Una operación en un anillo no conmutativo solo se puede simplificar si el mismo elemento aparece en los dos sitios a la derecha del todo o a la izquierda del todo, y además, ese elemento debe tener inverso.
Se simplificaría en virtud de estas propiedades
$$\begin{align}&AB = AC\\ &\\ &\text{multiplicamos por el inverso de A por el mismo lado}\\ &\\ &A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC) \\ &\\ &\text{por la propiedad asociativa}\\ &\\ &(A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C \\ &\\ &\text{por ser el elemento neutro el producto de inversos}\\ &\\ &I·B = I·C\\ &\\ &\text{por ser I el elemento neutro de las matrices}\\ &\\ &B=C\\ &\end{align}$$Fuera de esto no se puede hacer ninguna otra simplificación genérica. La multiplicación de matrices no es tan buena para esto como la multiplicación de números normales.
Y el la expresión que has puesto no hay repetición de matrices por el mismo lado. Aparte que se debería saber que son inversibles para poder hacer lo que hice.
Muchísimas gracias. Completísima y rapidísima la respuesta. Da gusto encontrar a alguien que pueda resolverte tan rápido una duda que me hubiera costado muchas horas conocer por mi mismo.
