Dada la ecuación de la parábola

Hay que poner la ecuación en forma canónica para tener mucha información sobre ella. Ya te explique en un ejercicio anterior la técnica de completar cuadrados que nos hará falta

La forma canónica que debemos conseguir es

(y-b)^2 = 2p(x-a)

2y^2 + 4y - x + 5 = 0

Dividimos por 2 para que el coeficiente del cuadrado sea 1

y^2 + 2y - x/2 + 5/2 = 0

Completamos cuadrados

(y+1)^2 - 1 - x/2 + 5/2 = 0

(y+1)^2 = x/2 - 3/2

(y+1)^2 = (1/2)(x-3)

(y+1)^2 = 2(1/4)(x-3)

Este último paso sobra, pero es por dejarla exactamente igual a la canónica.

a) El vértice es el (a,b) de la forma canónica

vértice = (3, -1)

b) El foco está a p/2 del vértice en horizontal ya que el eje longitudinal es paralelo al eje X. Como p=1/4 tenemos p/2 = 1/8

foco = (3, -1) + (1/8, 0) = (25/3, -1)

c) La directriz pasa por el punto a -p/2 del vértice en horizontal

(3,-1) - (1/8, 0) = (23/8, -1)

Y es una recta perpendicular al eje longitudinal, luego es vertical

x=23/8

d) La longitud del lado recto es el coeficiente complete de la x

Longitud lado recto = 1/2

Y eso es todo.