Calcula el volumen del solido formado por las pareds del primer octante

La intersección del cilindro con el plano z=0 es la circunferencia

x^2+y^2=4

La cual tiene centro (0, 0) y radio 2

El primer octante del espacio se proyecta sobre el primer cuadrante de es circunferencia. Podemos limitar ese cuadrante mediante [0, 2] en el eje X y [0, sqrt(4-x^2)] en el eje Y

Y la función a integrar e z=3-y

$$\begin{align}&\int_0^2\int_0^{\sqrt{4-x^2}} (3-y)dydx =\\ &\\ &\int_0^2\left[3y-\frac{y^2}{2}  \right]_0^{\sqrt{4-x^2}}dx=\\ &\\ &\\ &\int_0^2\left(3 \sqrt{4-x^2}-2+\frac{x^2}{2}\right)dx=\\ &\\ &\left[-2x +\frac{x^3}{6} \right]_0^2+3\int_0^2 \sqrt{4-x^2}dx=\\ &\\ &-\frac{16}{6}+3\int_0^2 \sqrt{4-x^2}dx=\\ &x=2sent\quad dx = 2cost\;dt\\ &x=0\implies t=0\\ &x=2\implies sent=1 \implies t=\frac{\pi}{2}\\ &\\ &-\frac 83 + 3\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4-4sen^2t}\;·2cost\;dt=\\ &\\ &\\ &-\frac 83+12\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t\;dt=\\ &\\ &-\frac 83 +12\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos(2t)}{2}dt=\\ &\\ &-\frac 83 +\left[6t+3sen(2t)  \right]_0^{\pi/2}=\\ &\\ &-\frac 83 + 3\pi+0-0-0=\\ &\\ &3\pi-\frac 83\end{align}$$

Y eso es todo.