Obtener las coordenadas del vértice y del foco y la ecuación de la directriz de la parábola...

La ecuación canónica de una parábola con eje paralelo al eje Y, tal como esta es

(x-xo)^2 = 2p(y-yo)

Donde (xo, yo) es el vértice y p es la distancia dirigida de la directriz al foco

Vamos a dar esa forma a la ecuación que nos han dado

x^2 - 6x + 16y - 23 = 0

x^2 - 6x se puede sustituir por (x-3)^2 - 9 es la técnica llamada de completar cuadrados

(x-3)^2 - 9 +16y -23 = 0

Pasamos a la derecha todo lo que no es el cuadrado

(x-3)^2 = -16y +32

Extraemos factor común

(x-3)^2 = -16(y-2)

y lo ponemos ya definitivamente de idéntica forma que en la ecuación canónica

(x-3)^2 = 2(-8)(y-2)

El vértice es (3,2)

La distancia dirigida de la directriz al foco es -8. ¿Qué quiere decir el signo -? Quiere decir que esa trayectoria se realiza contra el sentido positivo del eje Y, es decir, la directriz está por encima del foco

Y la distancia del vértice al foco es p/2 , la mitad de la directriz al foco. Luego, la coordenada y del foco es 4 menos que la del vértice

F = (3, 2-4) = (3,-2)

Y la directriz está a la misma distancia del vértice pero en sentido opuesto es decir 4 por arriba, es una línea horizontal, su ecuación es

y = 2+4

y=6

Esta es la gráfica de todo. Se incluye la prueba de la igualdad de distancia al foco y la directriz de un punto de la parábola.