Polinomio de Taylor
Hola, quisiera saber como es la fórmula completa del polinomio de Taylor con dos variables de grado 7, si me la puedes pasar completa. Muchas gracias
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
El problema del desarrollo de Taylor de varias variables es que nos quedan expresiones enormes.
Expliquemos ésto un poco:
Para una variable el desarrollo de Taylor en x=pero nos queda:
f(x)=f(xo) + f'(xo)*(x-xo) + (1/2!)*f''(xo)*(x-xo)^2 + (1/3!)*f'''(xo)*(x-xo)^3 + ...
Como ves se nota muy bien la recurrencia, cada término es (1/n!)*fn(pero)*(x-pero)^n
Siendo
Fn(xo)--->derivada n-ésima
El problema viene que con dos variables se mezclan las derivadas y nos quedan combinaciones de ellas multiplicadas por unos coeficientes que puedes sacar con el triángulo de Tartaglia ( o de Descartes)
http://webepcc.unex.es/agomez/ep/EP0203Tema04Tartaglia.PDF
Bueno intentemos desarrollarlo, comparando cada término con el de una variable
Usaremos esta notación:
Fxxy--Derivada parcial de tercer orden respecto a x, respecto a x y respecto a y
1º Término:f(pero)
f(xo,yo)
2º Término:f'(xo)*(x-xo)
fx(xo,yo)*(x-xo)+fy(xo,yo)*(y-yo)
3º Término:(1/2!)*f''(xo)*(x-xo)^2
(1/2!)*[fxx(xo,yo)*(x-xo)^2+2*fxy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)+fyy(xo,yo)*(y-yo)^2]
4º Término:(1/3!)*f'''(xo)*(x-xo)^3
(1/3!)*[fxxx(xo,yo)*(x-xo)^3+3*fxxy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)+3*fxyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^2+fyyy(xo,yo)*(y-yo)^3]
5º Término:(1/4!)*f''''(xo)*(x-xo)^4
(1/4!)*[fxxxx(xo,yo)*(x-xo)^4+4*fxxxy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)+6*fxxyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^2+4*fxyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^3+fyyyy(xo,yo)*(y-yo)^4
6º Término:(1/5!)*f'''''(xo)*(x-xo)^5
(1/5!)*[fxxxxx(xo,yo)*(x-xo)^5+5*fxxxxy(xo,yo)*(x-xo)^4*(y-yo)+10*fxxxyy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)^2+10*fxxyyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^3+5*fxyyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^4+fyyyyy(xo,yo)*(y-yo)^5]
7º Término:(1/6!)*f''''''(xo)*(x-xo)^6
(1/6!)*[fxxxxxx(xo,yo)*(x-xo)^6+6*fxxxxxy(xo,yo)*(x-xo)^5*(y-yo)+15*fxxxxyy(xo,yo)*(x-xo)^4*(y-yo)^2+20*fxxxyyy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)^3+15*fxxyyyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^4+6*fxyyyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^5+fyyyyyy(xo,yo)*(y-yo)^6]
8º Término:(1/7!)*f''''''(xo)*(x-xo)^7
(1/7!)*[fxxxxxxx(xo,yo)*(x-xo)^7+7*fxxxxxxy(xo,yo)*(x-xo)^6*(y-yo)+21*fxxxxxyy(xo,yo)*(x-xo)^5*(y-yo)^2+35*fxxxxyyy(xo,yo)*(x-xo)^4*(y-yo)^3+35*fxxxyyyy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)^4+21*fxxyyyyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^5+7*fxyyyyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^6+fyyyyyyy(xo,yo)*(y-yo)^7]
Ufff....
Ahora los sumas todos y ya lo tienes
Espero que te sirva, y comprueba si hay alguna errata
En esta página viene la fórmula general, pero sin desarrollar y usando operadores (h=xo,k=yo)
http://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/jgk/g11cal2/4oht3_1.pdf
Expliquemos ésto un poco:
Para una variable el desarrollo de Taylor en x=pero nos queda:
f(x)=f(xo) + f'(xo)*(x-xo) + (1/2!)*f''(xo)*(x-xo)^2 + (1/3!)*f'''(xo)*(x-xo)^3 + ...
Como ves se nota muy bien la recurrencia, cada término es (1/n!)*fn(pero)*(x-pero)^n
Siendo
Fn(xo)--->derivada n-ésima
El problema viene que con dos variables se mezclan las derivadas y nos quedan combinaciones de ellas multiplicadas por unos coeficientes que puedes sacar con el triángulo de Tartaglia ( o de Descartes)
http://webepcc.unex.es/agomez/ep/EP0203Tema04Tartaglia.PDF
Bueno intentemos desarrollarlo, comparando cada término con el de una variable
Usaremos esta notación:
Fxxy--Derivada parcial de tercer orden respecto a x, respecto a x y respecto a y
1º Término:f(pero)
f(xo,yo)
2º Término:f'(xo)*(x-xo)
fx(xo,yo)*(x-xo)+fy(xo,yo)*(y-yo)
3º Término:(1/2!)*f''(xo)*(x-xo)^2
(1/2!)*[fxx(xo,yo)*(x-xo)^2+2*fxy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)+fyy(xo,yo)*(y-yo)^2]
4º Término:(1/3!)*f'''(xo)*(x-xo)^3
(1/3!)*[fxxx(xo,yo)*(x-xo)^3+3*fxxy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)+3*fxyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^2+fyyy(xo,yo)*(y-yo)^3]
5º Término:(1/4!)*f''''(xo)*(x-xo)^4
(1/4!)*[fxxxx(xo,yo)*(x-xo)^4+4*fxxxy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)+6*fxxyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^2+4*fxyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^3+fyyyy(xo,yo)*(y-yo)^4
6º Término:(1/5!)*f'''''(xo)*(x-xo)^5
(1/5!)*[fxxxxx(xo,yo)*(x-xo)^5+5*fxxxxy(xo,yo)*(x-xo)^4*(y-yo)+10*fxxxyy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)^2+10*fxxyyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^3+5*fxyyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^4+fyyyyy(xo,yo)*(y-yo)^5]
7º Término:(1/6!)*f''''''(xo)*(x-xo)^6
(1/6!)*[fxxxxxx(xo,yo)*(x-xo)^6+6*fxxxxxy(xo,yo)*(x-xo)^5*(y-yo)+15*fxxxxyy(xo,yo)*(x-xo)^4*(y-yo)^2+20*fxxxyyy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)^3+15*fxxyyyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^4+6*fxyyyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^5+fyyyyyy(xo,yo)*(y-yo)^6]
8º Término:(1/7!)*f''''''(xo)*(x-xo)^7
(1/7!)*[fxxxxxxx(xo,yo)*(x-xo)^7+7*fxxxxxxy(xo,yo)*(x-xo)^6*(y-yo)+21*fxxxxxyy(xo,yo)*(x-xo)^5*(y-yo)^2+35*fxxxxyyy(xo,yo)*(x-xo)^4*(y-yo)^3+35*fxxxyyyy(xo,yo)*(x-xo)^3*(y-yo)^4+21*fxxyyyyy(xo,yo)*(x-xo)^2*(y-yo)^5+7*fxyyyyyy(xo,yo)*(x-xo)*(y-yo)^6+fyyyyyyy(xo,yo)*(y-yo)^7]
Ufff....
Ahora los sumas todos y ya lo tienes
Espero que te sirva, y comprueba si hay alguna errata
En esta página viene la fórmula general, pero sin desarrollar y usando operadores (h=xo,k=yo)
http://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/jgk/g11cal2/4oht3_1.pdf
