Ecuaciones diferenciales variables, homogéneas, exactas.., ¿Cómo detecto de qué tipo es la ecuación?

Hola: En mi curso de ecuaciones diferenciales se dan distintos tipos de ecuaciones de primer orden como(variables separables, homogéneas, exactas, no exactas, de bernulli, de ricatti) y todas en su forma fundamental tienen la misma estructura.Mí problema es ;teniendo una ecuación, que muchas veces esta"disfrasada", por donde tengo que empezar a probar para saber de que tipo es y resolverla.Te agradecería que me ayudaras. Adiós.
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Como habrás podido observar, la teoría de las ecuaciones diferenciales es una de las más complicadas que hay en Cálculo, y ni siquiera Cauchy y otros grandes matemáticos pudieron meterles mano. Esto es debido a que parece que no haya ningún teorema fundamental (de las ecuaciones diferenciales), como existe, por ejemplo, en Álgebra. Al ver que hallar el espacio solución de ecuaciones diferenciales era muy difícil, se dedicaron a estudiar al menos la existencia de soluciones: si no existía, era inútil buscar, puesto que se pueden formular sistemas incompatibles o contradictorios. A parte de los tres teoremas de existencia de solución, no existen muchas herramientas más o menos generales para hallar la solución. Sin embargo, se encontraron métodos para distintas formas especiales o sencillas de ecuaciones: variables separables, Bernoulli, etc. Lo que ocurre es lo que tú me comentas, muchas veces tenemos unas ecuaciones diferenciales y en realidad son equivalentes a otras a las que se le puede aplicar directamente un método de resolución que se basan siempre en realizar una serie de integraciones. Yo pienso que en este caso no hay más remedio que adquirir conocimiento heurístico, es decir, práctica, y reconocer por el aspecto las ecuaciones para saber como transformarlas, o bien sólo nos quedaría el método trial-and-error, prueba y error. Yo te aconsejo que estudies bien a qué tipos de ecuaciones se aplican qué métodos, qué DIFERENCIAS hay entre unos tipos y otros. Ahora bien, no sé si te habrás fijado pero la forma más natural de ver una ecuación diferencial es ver los dy, dx como auténticas cantidades que se pueden sumar y multiplicar, etc. No hay mejor forma de comprender el trasfondo, y no sólo describir, que estudiar Análisis de Leibnitz, o lo que se llama ahora Análisis No Estándar, redescubierto por Abraham Robinson (te aconsejo su libro "Non Standard Analysis"). Podrás saber en qué consiste realmente un infinitésimo, cantidad infinitesimal o diferencial, todos son sinónimos y trabajar con ellos desde un punto de vista algebraico. Por ej: las integrales se vuelven sumatorios de un número incontable de números infinitesimales.
En definitiva, te aconsejo que no veas las ecuaciones como si todas fuesen parte de la misma teoría, no es una teoría, sino muchas, una para cada tipo o forma de ecuaciones. Y la mejor forma de captar las diferencias es estudiar un poco de Análisis No Estándar. Fíjate que no se trata de aplica ANE cada vez que resuelvas una ecuación, porque el ANE actúa a más bajo nivel, sólo sirve para llegar a la verdadera comprensión de lo que se está haciendo y ganar seguridad, que no es poco, tratándose del hámbito que se trata. Para informarte un poco más del ANE:
http://members.tripod.com/PhilipApps/nonstandard.html

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