Problema de Cálculo Integral (Sacar inversa)
Hola Valero:
$$f(x)=Sen(x+\frac{\pi}{2})$$a) Determine si existe la inversa en su dominio.
b) Si no existe, restrinja el dominio para que si exista.
c) Halle f^-1(x), si es posible.
d) Halle el dominio y el rango de f y f^-1
Espero tu ayuda
1 respuesta
a) De ninguna manera, esta es una función periódica de periodo 2Pi e incluso dentro de cada periodo se repite dos veces el mismo valor, luego es todo lo contrario a una función inyectiva en R.
b) Tomemos el máximo intervalo que pueda tomarse con la función creciente por ejemplo. Hagamos que la función valga -1 en el extremo izquierdo y 1 en el derecho. Para que valga -1 el ángulo debe ser -pi/2 y para que valga 1 debe ser pi/2.
Como hay un desfase en la función deberá ser
x0+ pi/2 = -pi/2
x0 = -pi
x1 +pi/2 = pi/2
x1 = 0
Esto nos daría el intervalo [-pi, 0) pero no es un intervalo que guste mucho, vamos a tomar el siguiente intervalo donde la función es decreciente desde 1 a -1
Entonces tomaremos el dominio
Dom f = [0, pi)
c)
y = sen(x+pi/2)
arcsen y = x + pi/2
x = arcsen(y) - pi/2
Y ahora cambiamos la variable por la x para que sea una función de x
f^-1(x) = arcsen(x) - pi/2
d)
En f ya hemos definido
Dom f = [0, pi)
y se ve que el rango es
Rang f = [-1, 1]
Entonces la función f^1 tiene
Dom f^-1 = [-1, 1]
Rang f^-1 = [0, pi)
Y eso es todo.
Sólo una duda...
¿por qué en el Dominio incluyes al 0 y no al pi? y rango [-1,1] los 2 con corchete, o sea [
pero no sé porque lo incluyes a uno y al otro no.
No sé si sea valido no incluir a ninguno
(0,pi) y rango (-1,1)
siempre he tenido esa duda.
Espero que me respondas.
La función debe ser inyectiva en el dominio que elegimos para tener inversa. Esa es la única condición. Se me había metido en la cabeza que x=pi se volvía a repetir el valor de x=0 (por analogía con lo que sucede en 0 y 2pi) pero no es asi
sen(0+pi/2) = 1
sen(pi+pi/2) = -1
Además, con esa creencia había cometido un error en el rango, ya que si Dom f =[0, pi) entonces Rang f = [1, -1)
Entonces vamos a hacerlo bien. El dominio máximo que podemos tomar es:
Dom f = [0, pi]
Y el rango que le corresponde es
Rang f = [-1,1]
Con lo cual
Dom f^1 = [-1,1]
Rang f^1 = [0, pi]
Y eso es todo, conviene que estés atento y preguntes todo lo que no veas claro que estoy cometiendo varios fallos.
