Cálculo de probabilidades
Mi pregunta es la siguiente:
¿Cómo se calcula la probabilidad de que N eventos de un universo de U eventos presenten el mismo valor, siendo cada evento independiente de otro?
La pregunta surge porque leí por ahí que en una fiesta de más de 30 personas es muy fácil que hayan dos personas con la misma fecha de cumpleaños...
O sea:
U=30
N=2
P=1/365
Si el experto tiene tiempo, me gustaría saber con cuantos eventos (personas) se alcanza un 95% de seguridad.
Le he dado vueltas, he hecho tablas, pero mi pobre cerebro estadístico hace tiempo que está guardado en un rincón. Muchas gracias, de antemano.
¿Cómo se calcula la probabilidad de que N eventos de un universo de U eventos presenten el mismo valor, siendo cada evento independiente de otro?
La pregunta surge porque leí por ahí que en una fiesta de más de 30 personas es muy fácil que hayan dos personas con la misma fecha de cumpleaños...
O sea:
U=30
N=2
P=1/365
Si el experto tiene tiempo, me gustaría saber con cuantos eventos (personas) se alcanza un 95% de seguridad.
Le he dado vueltas, he hecho tablas, pero mi pobre cerebro estadístico hace tiempo que está guardado en un rincón. Muchas gracias, de antemano.
1 respuesta
Respuesta
1
U=30
N=2
P=1/365
Se trata de un experimento binomial, con p=1/365, y n=(U sobre N), que es el número de parejas de personas que podemos formar. Expresando la probabilidad de que una o más parejas tengan el mismo cumpleaños, obtenemos la siguiente ecuación:
b(x>=1;(U sobre 2),1/365) =
1 - b(x=0;(U sobre 2),1/365) =
1 - ((U sobre 2) sobre 0)(1/365)^0(1-1/365)^((U sobre 2)-0)=
1 - (1-1/365)^(U sobre 2) = 0.95 ==>
(364/365)^(U(U-1)/2) = 0.05 ==>
U(U-1)ln(364/365) = 2ln(0.05) ==>
ln(364/365)U^2 - ln(364/365)U - 2ln(0.05) = 0
U = [ln(364/365) -(+) raiz(ln^2(364/365)+8ln(364/365)ln(0.05)] / 2ln(364/365) =
= 47.23 personas
(Con signo más da el mismo resultado pero negativo)
Luego para una seguridad justo mayor que el 95% se necesita U=48 personas.
N=2
P=1/365
Se trata de un experimento binomial, con p=1/365, y n=(U sobre N), que es el número de parejas de personas que podemos formar. Expresando la probabilidad de que una o más parejas tengan el mismo cumpleaños, obtenemos la siguiente ecuación:
b(x>=1;(U sobre 2),1/365) =
1 - b(x=0;(U sobre 2),1/365) =
1 - ((U sobre 2) sobre 0)(1/365)^0(1-1/365)^((U sobre 2)-0)=
1 - (1-1/365)^(U sobre 2) = 0.95 ==>
(364/365)^(U(U-1)/2) = 0.05 ==>
U(U-1)ln(364/365) = 2ln(0.05) ==>
ln(364/365)U^2 - ln(364/365)U - 2ln(0.05) = 0
U = [ln(364/365) -(+) raiz(ln^2(364/365)+8ln(364/365)ln(0.05)] / 2ln(364/365) =
= 47.23 personas
(Con signo más da el mismo resultado pero negativo)
Luego para una seguridad justo mayor que el 95% se necesita U=48 personas.