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Hola calp:
No sé qué es "la ecuación de simetrica de la recta".
La ecuación de la recta de dos puntos se llama así porque a partir de dos puntos P y Q, (bien a partir de los puntos mismos o de sus coordenadas) se obtiene una ecuación que representa la recta que pasa por P y Q.
Por ejemplo, si tenemos P y Q, entonces podemos tener el vector PQ, y poner la ecuación afín de la recta:
X = P + tPQ
t es un número real que multiplica al vector PQ, dándole valores obtienes todos los puntos X de la recta.
Pero supongamos ahora que tenemos P=(Px,Py) y Q=(Qx,Qy) las coordenadas de los puntos (en un plano), entonces la ecuación paramétrica de la recta es:
Xx = Px + t(Qx-Px)
Xy = Py + t(Qy-Py)
(Xx, Qy, ... etc, son "X sub x", "Q sub y", no son productos)
despejando la t de ambas ecuaciones:
t = (Xx-Px)/(Qx-Px)
t = (Xy-Py)/(Qy-Py)
Igualando:
(Xx-Px)/(Qx-Px) = (Xy-Py)/(Qy-Py)
Queremos despejar Xy para obtener la ecuación explícita de dos puntos de la recta. Haciendo operaciones:
Xy = [(Qy-Py)/(Qx-Px)]·(Xx-Px) + Py
De esta forma, dando valores arbitrarios a la Xx, obtenemos la otra coordenada del punto de la recta.
Un saludo.
DM
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