Geometría analítica
Que tal, necesito que me ayuden a resolver este problema: "hallar la ecuación de la recta, que pasa por el punto (3,1) y tal que la distancia de la recta al punto (-1,1) sea igual a 2raizde 2" (dos soluciones)
Esta en Lehman grupo 12
Esta en Lehman grupo 12
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
La ecuación general de una recta es de la forma
A*x+B*y+C=0
1º Exigimos que pase por el punto A(3,1)
A*3+B*1+C=0
3*A+B+C=0
2º Dada una recta en forma general, la distancia de un punto P(pero, yo) a la recta viene dada por
dP,r=|A*xo+B*yo+C|/raiz[A^2+B^2]
Así pues, exigiendo que la distancia de r al punto (-1,1) sea 2*raiz[2]
|A*(-1)+B*1+C|/raiz[A^2+B^2]=2*raiz[2]
|-A+B+C|=2*raiz[2]*raiz[A^2+B^2]
Elevando al cuadrado
(-A+B+C)^2=8*(A^2+B^2)
Tenemos por tanto que resolver el sistema formado por
3*A+B+C=0
(-A+B+C)^2=8*(A^2+B^2)
Este es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, pero como la ecuación general no es única, pues cualquiera proporcional a ella es semejante, podemos fijar uno de los parámetros, por ejemplo C=1
3*A+B+1=0
B=-1-3*A
Luego
(-A-1-3*A+1)^2=8*[A^2+(-1-3*A)^2]
(-4*A)^2=8*(A^2+1+6*A+9*A^2)
16*A^2=8*(A^2+1+6*A+9*A^2)
2*A^2=10*A^2+6*A+1
8*A^2+6*A+1=0
Resolviendo la ecuación quedan dos soluciones
1º A=-1/4-->B=-1-3*A=-1/4
2º A=-1/2-->B=-1-3*A=1/2
quedándonos por tanto las rectas
-1/4 * x - 1/4 *y + 1 = 0
-1/2 * x + 1/2 * y + 1 = 0
y multiplicando por -4 y -2 nos quedan las rectas análogas
r:x+y-4=0
s:x-y-2=0
Es fácil comprobar que ambas rectas cumplen las condiciones impuestas.
Existen otros métodos para resolver el problema, por ejemplo, para exigir la condición de la distancia, si no queremos usar la fórmula de la distancia, podríamos haber tomado la circunferencia de centro (-1,1) y radio r=2*raíz[2), y exigir que sea tangente a la recta, de forma que el sistema formado por recta y circunferencia tenga una única solución (discriminante nulo).
A*x+B*y+C=0
1º Exigimos que pase por el punto A(3,1)
A*3+B*1+C=0
3*A+B+C=0
2º Dada una recta en forma general, la distancia de un punto P(pero, yo) a la recta viene dada por
dP,r=|A*xo+B*yo+C|/raiz[A^2+B^2]
Así pues, exigiendo que la distancia de r al punto (-1,1) sea 2*raiz[2]
|A*(-1)+B*1+C|/raiz[A^2+B^2]=2*raiz[2]
|-A+B+C|=2*raiz[2]*raiz[A^2+B^2]
Elevando al cuadrado
(-A+B+C)^2=8*(A^2+B^2)
Tenemos por tanto que resolver el sistema formado por
3*A+B+C=0
(-A+B+C)^2=8*(A^2+B^2)
Este es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, pero como la ecuación general no es única, pues cualquiera proporcional a ella es semejante, podemos fijar uno de los parámetros, por ejemplo C=1
3*A+B+1=0
B=-1-3*A
Luego
(-A-1-3*A+1)^2=8*[A^2+(-1-3*A)^2]
(-4*A)^2=8*(A^2+1+6*A+9*A^2)
16*A^2=8*(A^2+1+6*A+9*A^2)
2*A^2=10*A^2+6*A+1
8*A^2+6*A+1=0
Resolviendo la ecuación quedan dos soluciones
1º A=-1/4-->B=-1-3*A=-1/4
2º A=-1/2-->B=-1-3*A=1/2
quedándonos por tanto las rectas
-1/4 * x - 1/4 *y + 1 = 0
-1/2 * x + 1/2 * y + 1 = 0
y multiplicando por -4 y -2 nos quedan las rectas análogas
r:x+y-4=0
s:x-y-2=0
Es fácil comprobar que ambas rectas cumplen las condiciones impuestas.
Existen otros métodos para resolver el problema, por ejemplo, para exigir la condición de la distancia, si no queremos usar la fórmula de la distancia, podríamos haber tomado la circunferencia de centro (-1,1) y radio r=2*raíz[2), y exigir que sea tangente a la recta, de forma que el sistema formado por recta y circunferencia tenga una única solución (discriminante nulo).
