Vectores en el plano 1
Hola valeroasm! Por fin estoy de vuelta!
El lunes tengo la recuperación de la 2º evaluación, y aunque la tengo aprobada me tengo que presentar, porque nos tenemos que presentar todos, hayamos aprobado o no.. Y la recuperación sirve para subir, bajar nota o recuperar..
Aquí te dejo un ejercicio que no sé muy bien hacerlo..
Hallar el área del triángulo de vértices A (-3,-2) B (9,7) y C (2,8) y calcular sus ángulos.
1 respuesta
El área de un triángulo se calcula como un (1/2) del módulo del producto vectorial de los vectores que forman dos de sus lados.
Pero yo no sé si eso lo habéis dado vosotros. Si no es así, dime si lo habéis estudiado como que el área es la mitad de un lado por el otro por el seno del ángulo que forman.
Es que yo no hice ningún ejercicio de esto... este es el primero..
Yo lo único que he visto ha sido la fórmula del área de toda la vida..
Área del triángulo=Base x Altura/ 2
No sé si te servirá de algo :S
Es que sin tener tus libros, apuntes y clases es difícil saber que puedo usar y que no. No sé si habrás dado ya trigonometría, lo de los senos y los cosenos. Con eso podríamos hacerlo con la fórmula
Área = AB·AC·sen(A)/2
El seno de A se calcularía directamente con el producto vectorial o indirectamente calculando el coseno con el producto escalar. Si se pudiera usar algo de eso estaría bien. Si no, habrá que calcular la altura del triángulo como la distancia del punto C a la recta AB
Dime pues si puedo usar el método del producto vectorial o escalar o tengo que usar lo de la distancia punto recta.
He visto los dos métodos, pero en el área la fórmula que he visto ha sido esta
Área= 1/2 ab senx
En fin que he dado trigonometría y también he dado lo de la distancia al punto C de la recta AB, pero creo que este ejercicio quería que lo resolviéramos con las distancias y todo eso.. así que si lo haces así mejor :P
Bueno pues consideramos el segmento AB como la base y como altura la distancia de C a la recta de ese segmento
El vector AB = (9, 7) - (-3, -2) = (12, 9)
La base es el módulo del vector = sqrt(12^2+9^2) = sqrt(144+81) = sqrt(225) = 15
La recta es
(x - 9)/12 = (y-7)/9
9x -81 = 12y - 84
9x -12y + 3 = 0
3x - 4y + 1 = 0
La distancia del punto C (2,8) a la recta es
|3·2 - 4·8 + 1| / sqrt(3^2+4^2) = |6 - 48 + 1| / sqrt(25) = 41 / 5
Area=bh/2 = 15·(41/5) / 2 = 3·41/2 = 123/2
Los ángulos se forman a partir de
|u·v| = |u||v|cosx
cosx = |u·v|/(|u||v|)
Donde u y v son vectores, u·v es su producto escalar y x es el angulo que forman. Téngase en cuenta que las barras | | unas veces significan valores absolutos de un número y otras módulo de vectores, pero es que para las dos cosas se emplean las barras. Ayor
¡Ah, otra cosa! Esa fórmula nos da el ángulo menor que formana las dos rectas, luego si háy un águlo mayor de 90 grados no da ese sino el suplementario
Los vectores son
AB = (12, 9)
AC = (2, 8) - (-3,-2) = (5, 10)
BC = (2,8) - (9,7) = (-7, 1)
|AB| = sqrt(12^2+9^2) = sqrt(225) =15
|AC| = sqrt(5^2+10^2) = sqrt(125) = 5sqrt(5)
|BC| = sqrt(7^2+1^2) = sqrt(50) = 5sqrt(2)
El ángulo en A se calcula así:
cosA = |(12,9)·(5,10)| / [15·5sqrt(5)]=
(12·5 + 9·10) / [75sqrt(5)] =
150/[75sqrt(5)] =
2/sqrt(5)
racionalizamos el denominador por si al profesor le gusta
cosA = 2sqrt(5)/5
A = arcos[(2sqrt(5)/5] = 26,56505118º
El ángulo en B:
No es necesario usar el vector BA en lugar de AB porque el módulo del producto escalar será el mismo, pero lo usaré por seguir la norma.
cosB = |(-12,-9)(-7,1)| / [15·5sqrt(2)] =
|84 - 9| / [75sqrt(2)] =
75 / [75sqrt(2)] =
1/sqrt(2)
Y racionalizamos como antes
cosB = sqrt(2)/2
Este es conocido, es el coseno de 45º
B = 45º
Y el ángulo C:
cosC= |(-5,-10)(7,-1)|/[5sqrt(5)·5sqrt(2)] =
|-35+10| /[25sqrt(10) =
1/sqrt(10)
CosC = sqrt(10)/10
C = arcos[sqrt(10)/10] = 71,56505118º
Sumamos los tres ángulos:
26,56505118º + 45º + 71,56505118º = 143.1301024º
¡Vaya, no da 180º! Eso significa que hay un ángulo mayor de 90º y hemos sumado el suplementario en lugar del ángulo real, pero ¿cuál ha sido? No te niego que esto seguramente se habrá hecho toda la vida haciendo el dibujo y ahí se ve cuál es el ángulo mayor de 90. Pero voy a ver cómo se soluciona sin hacer el dibujo en primicia.
Si a esta suma le restamos el angulo malo (x) y le sumamos el suplementario (180º-x) tiene que dar 180, luego
143,1301024º - x + 180º - x = 180º
143,1301024º = 2x
x = 143,1301024º/2 = 75,56595118º
Luego el ángulo malo es el C que debe ser sustituido por su suplementario:
Y al final queda
A = 26,56505118º
B = 45º
C = 108,4349488º
Y eso es todo.
Valeroasm sólo una cosa, no se puede calcular la base como la distancia de A a B?
Muchas gracias :)
Si, se puede calcular así y de hecho se calcula así como dices. Solo que el módulo del vector AB es también esa distancia, por eso lo hice de esa forma.
