¿Cómo determino una incógnita para que una ecuación cuadrática tenga solución par?

Tengo la ecuación

$$kx^2-3x+5$$

y tengo que determinar k de modo que ésta ecuación tenga una solución de multiplicidad dos. En el libro de respuestas dice que k=9/20, pero no tengo ni idea cómo le hicieron. Gracias por su atención.

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5.843.850 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Un binomio con raíces r1 y r2 se puede descomponer de la forma

P(x) = a(x-r1)(x-r2)

Si las dos raíces son iguales tendremos

P(x) = a(x-r)^2

Vamos a igualar esta expresión y el binomio que nos dan

a(x-r)^2 = kx^2 - 3x + 5

a(x^2 - 2rx + r^2) = kx^2 - 3x + 5

ax^2 - 2arx + ar^2 = kx^2 - 3x + 5

Esto es una igualdad de polinomios, solo será verdadera si los tres coeficientes respectivos son iguales, luego

a = k

2ar = 3

ar^2 = 5

sustituyendo a en la segunda

2kr = 3

k = 3/(2r)

Y ahora en la tercera sustituímos a = k = 3/(2r)

[3/(2r)]r^2 = 5

(3/2)r = 5

r = 5·2/3 = 10/3

y ahora calculamos k

k= 3/(2r) = 3 / [2(10/3)] = 3 /(20/3) = 9/20

Y eso es todo, espero que tes sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder formular preguntas en el futuro.

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