¿Cómo determino una incógnita para que una ecuación cuadrática tenga solución par?
Tengo la ecuación
$$kx^2-3x+5$$
y tengo que determinar k de modo que ésta ecuación tenga una solución de multiplicidad dos. En el libro de respuestas dice que k=9/20, pero no tengo ni idea cómo le hicieron. Gracias por su atención.
1 respuesta
Un binomio con raíces r1 y r2 se puede descomponer de la forma
P(x) = a(x-r1)(x-r2)
Si las dos raíces son iguales tendremos
P(x) = a(x-r)^2
Vamos a igualar esta expresión y el binomio que nos dan
a(x-r)^2 = kx^2 - 3x + 5
a(x^2 - 2rx + r^2) = kx^2 - 3x + 5
ax^2 - 2arx + ar^2 = kx^2 - 3x + 5
Esto es una igualdad de polinomios, solo será verdadera si los tres coeficientes respectivos son iguales, luego
a = k
2ar = 3
ar^2 = 5
sustituyendo a en la segunda
2kr = 3
k = 3/(2r)
Y ahora en la tercera sustituímos a = k = 3/(2r)
[3/(2r)]r^2 = 5
(3/2)r = 5
r = 5·2/3 = 10/3
y ahora calculamos k
k= 3/(2r) = 3 / [2(10/3)] = 3 /(20/3) = 9/20
Y eso es todo, espero que tes sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder formular preguntas en el futuro.
