Anónimo
Ayuda! ¿Podrían ayudarme con esta ecuación diferencial? Por favor.
Un ingeniero desea conocer la población de una ciudad en cualquier tiempo t, lo único que sabe es que ela ecuación que modela la variación de la población es:
dp/dt=(k-w)P
donde:
que= es la tasa de natalidad
w= es la tas ade mortalidad
p= es la población en función del tiempo
instrucciones:
resuelve la ecuación diferencial (no utilices ningún tipo de software)
gráfica la solución cuando la tasa de natalidad es 0.002, la tasa de mortalidad es 0.005 y la población en el tiempo t=0 es p(0)=1
gráfica la solución cuando la tasa de natalidad es 0.004, la tasa de
mortalidad es 0.001 y la población en el tiempo t=0 es p(0)=1
1 Respuesta
Es una ecuación diferencial sencilla de variables separadas.
$$\begin{align}&\frac{dp}{dt}= (k-w)p\\ &\\ &\frac{dp}{p}= (k-w)dt\\ &\\ &\text{Integrando en ambos lados}\\ &\\ &ln\, p= (k-w)t+C\\ &\\ &p =e^{(k-w)t+C}\\ &\\ &p =e^Ce^{(k-w)t}\\ &\\ &renombrando\; C\; a\; e^C\\ &\\ &p=Ce^{(k-w)t}\\ &\\ &\end{align}$$Esa es la solución general de la ecuación diferencial.
Para k=0.002 y w=0.005 la ecuación será
$$\begin{align}&p=Ce^{(0.002-0.005)t}=Ce^{-0.003t}\\ &\\ &\text{Para que en t=0 la población sea 1 debe ser}\\ &\\ &p(0) = Ce^{-0.003\,·\,0}=1\\ &Ce^0=1\\ &C=1\\ &\text{luego la función es}\\ &p(t)=e^{-0.003t}\\ &\end{align}$$Vamos a calcular la otra función porque haré las dos gráficas en una
Para k=0.004 y w = 0.001 con p(0)=1 se hace igual que arriba y el resultado es:
p(t) = e^(0.003t)
Las gráficas son indistinguibles de la línea recta si se mantiene la proporción 1:1 entre los ejes. Hay que hacer por fuerza que la unidad del eje Y sea mucho más grande para que se pueda ver la forma. Y eso no puede hacerse con mi programa de hacer gráficas. Aquí tienes un enlace que te mostrará las dos funciones en el plano deformado.
Enlace a la gráfica
Y eso e todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame, y si ya está bien, no olvides puntuar.