Relaciones binarias de equivalencia
Hola me podrías explicar como podemos decir si una relación es de equivalencia o no, porque por más que intento entenderlo no lo entiendo, y si no se empezar difícilmente puedo continuar con el proceso.
Por ejemplo se me plantea el siguiente problema:
Determinar los pares de elementos que están relacionados mediante R, y decidir qué relaciones son de equivalencia en el conjunto A=(1,2,3,4)
R=(xRy?x-y E Z
Si me lo puedes explicar por favor le estaría muy agradecida.
Un saludo
1 respuesta
Para que haya una relación de equivalencia deben cumplirse las tres propiedades que imagino conocerás.
Sea R la relación y A el conjunto
1) Reflexiva: aRa para todo a € A
2) Simétrica: Si aRb entonces bRa para todo a, b € A
3) Transitiva: Si aRb y bRc entonces aRc para todo a, b, c € A
Entonces la relación que dices es que
xRy <==> x-y € Z
Veamos que las cumple
1) Sea x € R
x-x=0 € Z ==> xRx es reflexiva
2) Sean x,y € R
Si xRy ==> x-y=n € Z ==> y-x=-n € Z==> yRx luego es simétrica
3) Sean x,y,z € Z
Si xRy e yRz ==>
x-y=n € Z
y-z= m € Z
x-z = x - y + y - z = n-m € Z ==> xRz luego es transitiva.
Muchísimas gracias, voy a estudiarlo más al detalle y a ver si soy capaz de hacer el resto de ejercicios,pero me has servido de mucha ayuda porque creo que por fin he entendido algo.
Un saludo
