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Las componentes x e y de la velocidad son
Vx=dx/dt=c*t^2
Vy=dy/dt=b*t
Integrando podemos saber las posiciones en función de la velocidad
dx/dt=c*t^2
dx=c*t^2*dt
Int[dx]=Int[c*t^2*dt]
x-xo=c*t^3/3
Como xo=0
x=(1/3)*c*t^3
En el eje Y, con yo=0
dy/dt=b*t
dy=b*t*dt
Int[dy]=Int[b*t*dt]
y-yo=b*t^2/2
y=(1/2)*b*t^2
Es decir, la posición es
x=(1/3)*c*t^3
y=(1/2)*b*t^2
Para sacar la pocisción no hemos más que relacionar x con y eliminando el tiempo
Elevando x al cuadrado e y al cubo
x^2=(1/9)*c^2*t^6-->t^6=9*x^2/c^2
y^3=(1/8)*b^3*t^6-->t^6=8*y^3/b^3
9*x^2/c^2=8*y^3/b^3
Luego la trayectoria viene dada por
x^2=8*c^2*y^3/(9*b^3)
Para sacar la aceleración tangencial, derivamos el módulo de la velocidad
at=d|V|/dt
|V|=raiz[Vx^2+Vy^2]
|V|=raiz[c^2*t^4+b^2*t^2]
Derivando
at=[4*c^2*t^3+2*b^2*t]/2raiz[c^2*t^4+b^2*t^2]
at=2*t*[2*c^2*t^2+b^2]/2*t*raiz[c^2*t^2+b^2]
at=[2*c^2*t^2+b^2]/raiz[c^2*t^2+b^2]
Para sacar la aceleración normal, primero sacamos la aceleración total en vector y módulo
ax=dVx/dt=2*c*t
ay=dVy/dt=b
Luego el módulo de a es
|a|=raiz[ax^2+ay^2]
|a|=raiz[4*c^2*t^2+b^2]
Y como
|a|=at^2+an^2
an=raiz[|a|^2-at^2]
an=raiz[4*c^2*t^2+b^2-(2*c^2*t^2+b^2)^2/(c^2*t^2+b^2)]
an=raiz[((4c^2t^2)(c^2t^2+b^2)-(2c^2t^2+b^2)^2)/(c^2t^2+b^2)]
an=raiz[(4c^4t^4+4b^2c^2t^2+b^2c^2t^2+b^4-4c^4t^4-4b^2c^2t^2-b^4)/(c^2t^2+b^2)]
an=raiz[b^2c^2t^2/(c^2t^2+b^2)]
Luego
an=b*c*t/raiz[c^2*t^2+b^2]
Puede haber alguna errata en el desarrollo debido a la dificultad de introducir notación matemática.
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