Las raíces

Pues si te soy sincero, casi no me acuerdo de cómo hacer una raíz cuadrada, aunque lo aprendí en el colegio, si bien nunca recuerdo haber aprendido ningún algoritmo para hacer raíces cúbicas.
Cuando he tenido la necesidad de hacerlo y no he tenido calculadora a mano, he tenido que usar métodos aproximados como el desarrollo en serie de Taylor o métodos similares.
De todas formas he estado buscando por la red y sí he encontrado un algoritmo para hacer raíces cúbicas.
http://www.terra.es/personal/jftjft/Aritmetica/Operaciones/Radicacion.htm
En esa página puedes ver que se explican los pasos a seguir para hacer raíces cuadradas y cúbicas. Si te fijas, aunque hay pasos comunes entre ambos algoritmos ( dividir el número en grupos de dos para la cuadrada y de tres para la cúbica...), no parece que se siga una pauta común, con lo que dudo que exista un algoritmo genérico para efectuar raíces n-ésimas.
Al menos con estas dos sí podríamos hacer raíces de
grado 2
grado3
grado 4: dos veces la ráiz cuadrada
grado 6: raíz cuadrada y luego cúbica ( o viceversa)
Grado 8: tres veces la raíz cuadrada
Grado 9: dos veces la raíz cúbica
Grado 12: raíz cúbica y luego dos veces raíz cuadrada.
...
De todas formas desde la invención de los logaritmos, se dejaron de estudiar algoritmos para efectuar raíces, pues gracias a ellos podemos transformar cualquier raíz en una división
Usando la propiedad de los logaritmos en cualquier base ( por ejemplo decimal o neperiano)
Log(a^n)=n*Log(a)
Log(raizn(a))=Log(a^(1/n))=(1/n)*Log(a)
De esta manera, para calcular cualquier raíz basta con tener a mano cualquier tabla de logaritmos ( o una calculadora, pero en este caso podemos usar la tecla de raíces, si bien incluso la misma calculadora lo hace mediante logaritmos).
Ejemplo, calculemos la raíz cúbuica de 12345
x=raíz 3(12345)=12345^(1/3)
Aplicando logaritmos decimales
Logx=log(12345^(1/3))
Logx=(1/3)*Log(12345)
Logx=log(12345) / 3
Buscamos en una tabla el log(12345)=4.091491
Logx=4.091491/3
Logx=1.263830365
Buscamos en la tabla un número cuyo logaritmo sea ese
x=23.1116
Que será la raíz cúbica del número buscado ( ni que decir tiene que para los cálculos he usado la calculadora)
De todas formas, según tengo entendido, llevamos siglos haciendo así las operaciones. Antes de la llegada de las calculadoras, existía una herramienta llamada regla de cálculo para hacer las operaciones ( yo nunca las he usado, ni siquiera he visto ninguna salvo en fotos), y dichas reglas usaban los logaritmos para efectuar estas operaciones. Puedes leer un poco de ello en
http://www.giovannipastore.it/index_espanol.HTM
Para finalizar, he encontrado otra página donde se enseña cómo se pueden hacer también raíces cuadradas y cúbicas con un simle ábaco
http://es.geocities.com/sorobanyabacos/swanpan/swanpan07.html
Parece mentira lo que ha tenido que inventar la humanidad para efectuar operaciones que ahora están al alcance de cualquiera con la pulsación de un botón de una calculadora que no vale más de 10 euros.