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Hola!
Te explico lo que hice perome da algo más complicado, aunque quizás saber el procedimiento te interesa más.
Antes de nada decir que cambié la "r" y "t", por "y" y "x". Además llamé A = GM
Entonces tengo, y" = -A/y^2
Se trata de una ecuación diferencial de 2º orden, por lo tanto lo primero es usar el truco de que d[(y')^2] / dx = 2y'y", porque con esto podemos reducir la ecuacion a una de 1º orden sin más que multiplicar ambos miembros por 2y' -> 2y'y" = -2Ay'/y^2, si hacemos integral en los dos lados tenemos (y')^2 = -2AIntegral(y'/y^2)dx, esta última parte usamos que y'dx = dy/dx * dx = dy, luego tenemos (y')^2 = -2AIntegral(1/y^2)dy = 2A/y + k -> y' = Raiz(2A/y +k) -> dy/dx = Raiz(2A/y +k) -> dy/Raiz(2A/y +k) = dx
Ahora lo que faltaría es hacer integrales en los dos lados, el 2º está claro pero el 1º si hacemos la suma que hay en el denominador y arreglamos nos queda Integral{Raiz(y/ky+2A)dy}
Esta integral no es muy difícil, también la tengo hecha, hay que hacer el cambio de variable y/(ky+2A) = t^2.
No sigo porque el resultado sale diferente al que me diste, pero el procedimiento es este, y una vez que lo entiendes lo ves lógico.
Sin embargo no sé porque sale distinto al que me pones, no obstante, espero haber explicado bien los pasos; si no tienes claro algo dímelo otra vez que no hay inconveniente.
Un saludo.
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