Ecuaciones

Los ejercicios que me has dado son para resolver ecuaciones de segundo grado. Una forma general de esta ecuacion es Ax^2+Bx+C=0 y estas ecuaciones admiten dos soluciones:
x=[-B+raiz(B^2-4AC)]/2A y
x=[-B-raiz(B^2-4AC)]/2A

donde raiz() significa raiz cuadrada y ^2 significa al cuadrado.
Sabiendo esto ya tienes algunas herramientas para resolver algunos ejercicios.

Vamos entonces a resolverlos:

1)La ecuacion x^2-6ax+11=0 tiene una solucion que es x=-1, para ello si reemplazo -1 por las x en la ecuacion tengo: (-1)^2-6a(-1)+11=0 es decir, 1+6a+11-0 entonces 6a+12=0 => 6a=-12 => a=-2.

2)Aqui uso la formula que te di antes, la ecuacion es:
x^2-(m+n)x+mn=0 entonces
x=[m+n+raiz((m+n)^2-4mn)]/2 y x=[m+n-raiz((m+n)^2-4mn)]/2

veamos que hay en la raiz:
(m+n)^2-4mn, sabemos que (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 => (m+n)^2-4mn=m^2+2mn+n^2-4mn=m^2-2mn-n^2 y esto es (m-n)^2 entonces raiz((m+n)^2-4mn)=raiz((m-n)^2)=m-n
entonces:
x=[m+n+m-n]/2=m y x=[m+n-m+n]/2=n luego las soluciones son m y n.

3)(x+a)^2=x^2+mx+a^2 debo desarrollar entonces (x+a)^2 entonces tengo:
x^2+2ax+a^2=x^2+mx+a^2 lo cual puedo eliminar x^2 y a^2 y obtengo 2ax=mx entonces simplifico las x y tengo 2a=m.

4) Para que esta ecuacion tenga soluciones iguales me tengo que fijar en las soluciones que te di inicialmente, entonces si la ecuacion es: x^2-4x+8-2k=0 tengo que:
x=[4+raiz(16-4(8-2k))]/2 y
x=[4-raiz(16-4(8-2k))]/2 entonces para que haya una unica solucion lo que esta dentro de la raiz tiene que ser igual a 0. Entonces 16-4(8-2k)=0 entonces 4(8-2k)=16 => 8-2k=4 =>2k=4 => k=2.

5) La ecuacion es x^2+ax+b=0 y tiene como soluciones x=-2 y x=4 reemplacemos primero por x=-2 y luego por x=4 entonces:
(-2)^2+a(-2)+b=0
4^2+4a+b=0 si resto las dos ecuaciones tengo:
12+6a=0 entonces a=-2 luego reemplazo este valor en alguna de las ecuaciones y tengo: (-2)^2+(-2)(-2)+b=0 entonces 4+4+b=0 asi pues b=-8

6)las raices de la ecuacion son:
x=[-k+raiz(k^2-160)]/2 y
x=[-k-raiz(k^2-160)]/2 entonces si las sumo obtengo: [-k+raiz(k^2-160)]/10 + [-k-raiz(k^2-160)]/10=-k/5 y como esta suma es 2 segun el enunciado, entonces tengo que -k/5=2 y asi k=-10.

Espero que hayas podido entender un poco estas soluciones, cualquier cosa no dudes en comentarmelo.