Dudas acerca de definición de un plano en vectores

En el espacio, la variedad afin cuya ecuación tiene la forma ax+by+cz+d = 0 es el plano. Y como bien dices la ecuación de un plano que pasa por (xo,yo,zo) es
a(x-xo) + b(y-yo) + c(z-zo) = 0
Claro está que la recta no puede tener esa ecuación porque entonces sería un plano, no un a recta.
La recta se define como la intersección de dos planos no paralelos, su ecuación es por lo tanto la de dos planos. También hay otras formas como la paramétrica que consiste en dar la ecuación de la recta en función de una variable t que la va recorriendo. Lo normal es dar un punto y una función lineal del vector director. Así por ejemplo:
r: (xo,yo,zo) + t(vx,vy,vz)
Es la ecuación de la recta que pasa por (pero, yo, zo) y tiene como vector director (vx, vy, vz)
En cada espacio de dimension n, se llama hiperplano a la variedad afin de dimensión n-1 y esa es la que tiene ecuación a1·x1 + a2·x2 +...+an·xn + a sub (n+1) = 0
En el plano el hiperplano era la recta y por eso tenía esa ecuación, pero en el espacio el hiperplano es el plano y en un espacio de dimensión cuatro el hiperplanos sera un espacio de dimensión tres.
Si, las coordenadas polares son el radio, que es el módulo del vector que une el origen con es punto o la distancia al origen, como quieras llamarlo y el ángulo que forma este radio vector con el semieje positivo POR en sentido antohorario. La variable independiente es el ángulo y la dependiente el radio.
Se usa por que algunas funciones tienen una expresión mucho más sencilla en coordenadas polares que en cartesianas.
No entiendo muy bien el problema de los vectores. Piensa que si estás en el espacio se necesitan tres vectores para poder representar todos los puntos. Si utilizas dos solo podrás representar los puntos del plano que determinan esos dos vectores. Tiene sentido entonces expresar ese par ordenado como coordenadas en esa base de un punto o vector de ese plano.
Y eso es todo.