Integrales

$(3x+1)^4 dx =
Vemos claramente que proviene de un (3x+1)^5. Y en este caso, al derivar, multiplicaríamos por el 5 del exponente y el 3 de 3x. Nada de eso ha permanecido, luego algo había en la primitiva que se engulló eso... ¿Qué puede ser? Pues el inverso de eso, es decir, 1/(3·5)
= (1/15) (3x+1)^5 +C
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$(2x^2-3)^5·x dx =
Vemos que proviene de un (2x^2-3)^6, en vez del 4x de la derivada de 2x^2 tenemos solo una por, pero eso se arregla como antes, con una multiplicación por una constante. Resumiendo, si derivamos (2x^2-3)^6 nos dará 6(2x^2-3)^5 · 4x. Vemos que la diferencia con lo nuestro es que está multiplicacada por 24. Pues dividimos por 24 y así dará lo que pide el ejercicio
= (1/24) (2x^2-3)^6 + C
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$(x^2)cosx dx=
Se resuelve por partes, aplicándolo 2 veces además.
Un Dia Vi Una Vieja Vestida De Uniforme. Es una regla mnemotécnica
$udv = uv -$vdu
u = x^2 ==> du = 2x dx
dv = cosx dx ==> v = senx
= (x^2) senx - $(senx)2x dx =
u = 2x ==> du = 2dx
dv = senx ==> v = -cosx
= (x^2) senx - 2x(-cosx) - $(-cosx)2dx =
(x^2) senx + 2x·cosx +2 $cosxdx =
(x^2)·senx + 2x·cosx +2senx + C

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$(x^2)ln(x)dx =
u = ln(x) ==> du = dx/x
dv = (x^2)dx ==> v =(1/3)x^3
= (1/3)(x^3)ln(x) - (1/3)$x^3/x dx =
(1/3)(x^3)ln(x) - (1/3)$x^2 dx =
(1/3)(x^3)ln(x) - (1/3)(1/3)x^3 =
Sacando factor común
(1/3)(x^3)[ln(x) - 1/3] + C
Y eso es todo.