Probabillidad
1) De una caja que contiene 10 bolas rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas se extrae dos bolas sin reemplazo. Cuál es la probabilidad que: a) ambas sean blancas b) sólo una sea roja c) una naranja y otra azul
2) Doce cartas se numeran del 1 al 12. Se extraen dos cartas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor de los dos números sacados sea mayor que 6?
3) Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 21 en los dos lanzamientos combinados?
2) Doce cartas se numeran del 1 al 12. Se extraen dos cartas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor de los dos números sacados sea mayor que 6?
3) Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 21 en los dos lanzamientos combinados?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
1)
Hay en total 10+30+20+15 = 75 bolas
a) Las dos blancas
Hay 30 blancas luego
P(primera blanca) = (30/75)
Despues quedan 29 blancas y 74 bolas luego
P(segunda blanca) = (29/74)
Luego
P(las dos blancas ) = (30 · 29) / (75 · 74) = 870 / 5550 = 29 / 185 = 0,1567567
b) Solo sea una roja
Se pueden dar dos casos la primera roja y la segundo no o la primera no y la segunda si
P(primera si y segunda no) = (10/75) (65/74) = 650 / 5550 = 13/111 = 0,117117...
P(primera no y segunda si) = (65/75) (10/74) = 650 / 5550 = 13/111 = 0,117117...
P(una sola roja) = Suma de las dos anteriores = 26/111 = 0, 234234...
c)Una naranja y otra azul
Se pueden dar dos casos, que salga primero la naranja o la azul. Ya verás como la probabilidad será la misma, pero vamos a considerar ambos casos
P(1ª naranja, 2ª azul) = (15/75)(20/74) = 300/5550 = 6/111 = 0,0540540
P(1ª azul, 2ª naranja) = (20/75)(15/74) = 300/5550 = 6/111 = 0,0540540
P(una naranja y una azul) = Suma de las dos = 12/111 = 0,1081081
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2) Doce cartas se numeran del 1 al 12. Se extraen dos cartas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor de los dos números sacados sea mayor que 6?
Si la primera es mayor que seis ya está, luego empezamos con un probabilidad de 1/2.
Ahora suponiendo que la primera sea menor que siete, quedan 11 cartas de las cuales 6 son mayores que 6 luego la probabilidad sería 6/11
P(la mayor sea mayor que 6) =P(primera mayor 6)+P(primera <7) · P(segunda > 6)=
1/2 + (1/2)(6/11) = 1/2 + 6/22 = (11+6)/22 = 17/22 = 0,7727272
---------------------------
3) Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 21 en los dos lanzamientos combinados?
Las formas de tener 21 son
6,6,6,3 Dependiendo de la posición de 3 son 4 formas
6,6,5,4 El 5 y 4 pueden estar en C(4,2) sitios y en dos ordenaciones 6·2 = 12 formas
6,5,5,5 El 6 puede estar en cuatro sitios, hay 4 formas
Luego hay 4+12+4 = 20 formas de tener 21
Y las formas totales son 4^6 = 4096
Luego P(sumar 21) = 20/4096 = 5/1024 = 0,0048828125
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido, si no pide las aclaraciones que necesites.
Hay en total 10+30+20+15 = 75 bolas
a) Las dos blancas
Hay 30 blancas luego
P(primera blanca) = (30/75)
Despues quedan 29 blancas y 74 bolas luego
P(segunda blanca) = (29/74)
Luego
P(las dos blancas ) = (30 · 29) / (75 · 74) = 870 / 5550 = 29 / 185 = 0,1567567
b) Solo sea una roja
Se pueden dar dos casos la primera roja y la segundo no o la primera no y la segunda si
P(primera si y segunda no) = (10/75) (65/74) = 650 / 5550 = 13/111 = 0,117117...
P(primera no y segunda si) = (65/75) (10/74) = 650 / 5550 = 13/111 = 0,117117...
P(una sola roja) = Suma de las dos anteriores = 26/111 = 0, 234234...
c)Una naranja y otra azul
Se pueden dar dos casos, que salga primero la naranja o la azul. Ya verás como la probabilidad será la misma, pero vamos a considerar ambos casos
P(1ª naranja, 2ª azul) = (15/75)(20/74) = 300/5550 = 6/111 = 0,0540540
P(1ª azul, 2ª naranja) = (20/75)(15/74) = 300/5550 = 6/111 = 0,0540540
P(una naranja y una azul) = Suma de las dos = 12/111 = 0,1081081
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2) Doce cartas se numeran del 1 al 12. Se extraen dos cartas sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que el mayor de los dos números sacados sea mayor que 6?
Si la primera es mayor que seis ya está, luego empezamos con un probabilidad de 1/2.
Ahora suponiendo que la primera sea menor que siete, quedan 11 cartas de las cuales 6 son mayores que 6 luego la probabilidad sería 6/11
P(la mayor sea mayor que 6) =P(primera mayor 6)+P(primera <7) · P(segunda > 6)=
1/2 + (1/2)(6/11) = 1/2 + 6/22 = (11+6)/22 = 17/22 = 0,7727272
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3) Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 21 en los dos lanzamientos combinados?
Las formas de tener 21 son
6,6,6,3 Dependiendo de la posición de 3 son 4 formas
6,6,5,4 El 5 y 4 pueden estar en C(4,2) sitios y en dos ordenaciones 6·2 = 12 formas
6,5,5,5 El 6 puede estar en cuatro sitios, hay 4 formas
Luego hay 4+12+4 = 20 formas de tener 21
Y las formas totales son 4^6 = 4096
Luego P(sumar 21) = 20/4096 = 5/1024 = 0,0048828125
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido, si no pide las aclaraciones que necesites.
Hola!
No entiendo el último problema, por si me puedes ayudar.
Gracias
No entiendo el último problema, por si me puedes ayudar.
Gracias
3) Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un total de 21 en los dos lanzamientos combinados?
La probabilidad es el cociente de los casos favorables entre los posibles. Vamos a calcular ambos.
Lo primero es que los dados sumen 21, es un número bastante alto porque el máximo es 24 y solo puede obtenerse con estas tres puntuaciones en los dados.
6,6,6,3
6,6,5,4
6,5,5,5
Ahora bien, 6,6,6,3 tiene cuatro casos en realidad si consideramos el orden de lanzamiento
6,6,6,3
6,6,3,6
6,3,6,6
3,6,6,6
El caso 6,6,5,4 tiene 12 posibilidades, porque los sieses pueden estar en 6 sitios distintos que son C(4,2) y el 4 y 5 pueden estar de dos formas
(6,6,5,4) (6,6,4,5) (6,4,6,5) (6,5,6,4) (6,4,5,6) (6,5,4,6) (4,6,6,5) (5,6,6,4)
(4,6,5,6) (5,6,4,6) (4,5,6,6) (5,4,6,6)
Y el caso (6,5,5,5) es análogo al primero y tiene 4 posibilidades
Luego si consideramos los lanzamientos de cuatro dados uno tras otro hay 20 veces en que sacaremos 21 puntos.
Los casos totales son 6^4 me había equivocado la vez anterior.
El primer dado puede tener cualquiera de los seis números, el segundo también cualquiera, luego son 6 · 6 = 36. Por cada uno de estos el tercero da 6 posibilidades más y el cuarto lo mismo. En total son 6·6·6·6 = 1296 lanzamientos posibles.
La probabilidad es el cociente de los casos favorables entre los posibles, es decir:
20 / 1296 = 4/ 324 = 0,015432
Y eso es todo.
La probabilidad es el cociente de los casos favorables entre los posibles. Vamos a calcular ambos.
Lo primero es que los dados sumen 21, es un número bastante alto porque el máximo es 24 y solo puede obtenerse con estas tres puntuaciones en los dados.
6,6,6,3
6,6,5,4
6,5,5,5
Ahora bien, 6,6,6,3 tiene cuatro casos en realidad si consideramos el orden de lanzamiento
6,6,6,3
6,6,3,6
6,3,6,6
3,6,6,6
El caso 6,6,5,4 tiene 12 posibilidades, porque los sieses pueden estar en 6 sitios distintos que son C(4,2) y el 4 y 5 pueden estar de dos formas
(6,6,5,4) (6,6,4,5) (6,4,6,5) (6,5,6,4) (6,4,5,6) (6,5,4,6) (4,6,6,5) (5,6,6,4)
(4,6,5,6) (5,6,4,6) (4,5,6,6) (5,4,6,6)
Y el caso (6,5,5,5) es análogo al primero y tiene 4 posibilidades
Luego si consideramos los lanzamientos de cuatro dados uno tras otro hay 20 veces en que sacaremos 21 puntos.
Los casos totales son 6^4 me había equivocado la vez anterior.
El primer dado puede tener cualquiera de los seis números, el segundo también cualquiera, luego son 6 · 6 = 36. Por cada uno de estos el tercero da 6 posibilidades más y el cuarto lo mismo. En total son 6·6·6·6 = 1296 lanzamientos posibles.
La probabilidad es el cociente de los casos favorables entre los posibles, es decir:
20 / 1296 = 4/ 324 = 0,015432
Y eso es todo.
Hola!
Me podrías explicar el segundo problema, ¿el de las cartas?
Gracias Valeroasm!
Me podrías explicar el segundo problema, ¿el de las cartas?
Gracias Valeroasm!
Piensa en un examen, lo puedes aprobar a la primera y ya está o tienes una segunda oportunidad. Si tu probabilidad de aprobar es la mitad en cada examen, la probabilidad de que acabes aprobando es:
0,5 si apruebas a la primera
La probabilidad de no haber aprobado a la primera es 0,5, ahora vamos al segundo examen y de nuevo tenemos la mitad de probabilidades de aprobar. Eso es la mitad de la mitad 0,5 · 0,5 = 0,25
En total 0,5 + 0,25 = 0,75
Pues con las cartas es parecido. Si la primera carta es mayor que seis ya hemos cumplido. Las cartas mayores que seis son 7,8,9,10,11,12. Son seis de doce posibles, luego la probabilidad de tener una mayor que 6 es 0,5 = 1/2
Si salió menor que seis, tenemos una segunda oportunidad que se da en el 0,5 de los casos. En esta segunda ya habíamos sacado una carta menor que seis, luego quedan 6 cartas mayores y cinco menores, por lo que la probabilidad de sacar mayor es 6/11
Multiplicamos el 0,5 (mejor 1/2) de haber llegado hasta aquí por la probabilidad de sacar carta mayor
(1/2) · (6/11) = 6/22
Y la probabilidad total de haber sacado una carta mayor es la haberla sacado la primera más la de haberla sacado a la segunda. Hacemos la suma:
1/2 + 6/22 = 11/22 + 6/22 = 17 / 22 = 0,7727272
--------------
Se puede hacer de otra forma, mediante combinaciones.
Las combinaciones posibles de dos cartas son C(12,2) = 12·11 / 2 = 66
Las combinaciones fracasadas serían las que tuviese las dos cartas entre 1 y 6. Luego son C(6/2) = 6·5/2 =15
La prob de fracasar es 15/66 = 5 / 22
Luego la de conseguirlo es la contraria 1- 5/ 22 = 17/22 = 0,7727272
Si te resulta más fácil usa este método segundo. Y eso es todo.
0,5 si apruebas a la primera
La probabilidad de no haber aprobado a la primera es 0,5, ahora vamos al segundo examen y de nuevo tenemos la mitad de probabilidades de aprobar. Eso es la mitad de la mitad 0,5 · 0,5 = 0,25
En total 0,5 + 0,25 = 0,75
Pues con las cartas es parecido. Si la primera carta es mayor que seis ya hemos cumplido. Las cartas mayores que seis son 7,8,9,10,11,12. Son seis de doce posibles, luego la probabilidad de tener una mayor que 6 es 0,5 = 1/2
Si salió menor que seis, tenemos una segunda oportunidad que se da en el 0,5 de los casos. En esta segunda ya habíamos sacado una carta menor que seis, luego quedan 6 cartas mayores y cinco menores, por lo que la probabilidad de sacar mayor es 6/11
Multiplicamos el 0,5 (mejor 1/2) de haber llegado hasta aquí por la probabilidad de sacar carta mayor
(1/2) · (6/11) = 6/22
Y la probabilidad total de haber sacado una carta mayor es la haberla sacado la primera más la de haberla sacado a la segunda. Hacemos la suma:
1/2 + 6/22 = 11/22 + 6/22 = 17 / 22 = 0,7727272
--------------
Se puede hacer de otra forma, mediante combinaciones.
Las combinaciones posibles de dos cartas son C(12,2) = 12·11 / 2 = 66
Las combinaciones fracasadas serían las que tuviese las dos cartas entre 1 y 6. Luego son C(6/2) = 6·5/2 =15
La prob de fracasar es 15/66 = 5 / 22
Luego la de conseguirlo es la contraria 1- 5/ 22 = 17/22 = 0,7727272
Si te resulta más fácil usa este método segundo. Y eso es todo.
1. De la primera forma y del siguiente punto:
1/2 + 6/22 = 11/22 + 6/22 = 17 / 22 = 0,7727272
Entiendo de donde sale el 1/2, y que luego el 6/22 sale del 1/2 * 6/11, y mi única duda en esta forma es porque se coloca el 1/2 en 1/2*6/11?
2. De la forma de las Combinaciones, cuando tú dices:
"Las combinaciones fracasadas serían las que tuviese las dos cartas entre 1 y 6. Luego son C(6/2) = 6·5/2 =15 "
Pero aquí también no se podría hacer pensar que las combinaciones acertadas son las que tuviese las dos cartas en 7 y 12. Y luego seria lo mismo:
C(6/2) = 6·5/2 =15 y este quience deberia de ser las que acierta???
1/2 + 6/22 = 11/22 + 6/22 = 17 / 22 = 0,7727272
Entiendo de donde sale el 1/2, y que luego el 6/22 sale del 1/2 * 6/11, y mi única duda en esta forma es porque se coloca el 1/2 en 1/2*6/11?
2. De la forma de las Combinaciones, cuando tú dices:
"Las combinaciones fracasadas serían las que tuviese las dos cartas entre 1 y 6. Luego son C(6/2) = 6·5/2 =15 "
Pero aquí también no se podría hacer pensar que las combinaciones acertadas son las que tuviese las dos cartas en 7 y 12. Y luego seria lo mismo:
C(6/2) = 6·5/2 =15 y este quience deberia de ser las que acierta???
Ese 1/2 se pone porque estamos en la segunda extracción. Cuando en la primera ya hemos sacado una carta más alta de 6 no importa cual sea la segunda, el 1/2 de probabilidad que le corresponde ya lo tenemos contabilizado aparte y en teoría ni tendríamos porque sacar la segunda. Lo que contamos ahora es la probabilidad de sacar carta más alta pero solo para la mitad de los casos (en los que la primera carta fracasó), por eso es (1/2) · (6/11).
No, las combinaciones buenas no son las mismas que las malas.
Las malas son C(6,2). Son las que las dos cartas son de 1 a 6.
La acertadas son las que las dos cartas son de 7 a 12, por ahí serían las mismas. Pero y las que salió una carta baja y otra alta, esas van todas al bando de las acertadas y son muchas, luego son más las acertadas que las falladas.
En concreto las falladas son 15 y las acertadas 51, que son la suma de esas 15 más 36 mixtas.
Y eso es todo.
No, las combinaciones buenas no son las mismas que las malas.
Las malas son C(6,2). Son las que las dos cartas son de 1 a 6.
La acertadas son las que las dos cartas son de 7 a 12, por ahí serían las mismas. Pero y las que salió una carta baja y otra alta, esas van todas al bando de las acertadas y son muchas, luego son más las acertadas que las falladas.
En concreto las falladas son 15 y las acertadas 51, que son la suma de esas 15 más 36 mixtas.
Y eso es todo.
