Anónimo
Duda con un problema. C.Intro 1
Hola valeroasm!
Sólo esta vez te pido que despejes esta duda más no resuelvas el problema.
Sea la parábola cuya ecuación en coordenadas polares es r=d/(1-cosq). Determine la longitud de la parábola desde el punto sobre el foco hasta el vértice.
[[El enunciado está bien escrito, esta vez no me falto algo]]
Sol)
Mi solución:
r=ds/dq, despejando tenemos r(dq)=(ds)
Es aquí donde integramos y obtenemos la ecuación de la loongitu de la curva, tú te vas a dar cuenta que con esto el problema está casi resuelto sólo faltaría saber desde donde a donde se integran EN EL PROBLEMA dice desde el punto sobre el foco hasta el vértice. Lo que sé es que teniendo r conozco las componentes por, y; pero como conozco las coordenadas del vértice y el otro que dice y no entiendo.
Un saludo.
Sólo esta vez te pido que despejes esta duda más no resuelvas el problema.
Sea la parábola cuya ecuación en coordenadas polares es r=d/(1-cosq). Determine la longitud de la parábola desde el punto sobre el foco hasta el vértice.
[[El enunciado está bien escrito, esta vez no me falto algo]]
Sol)
Mi solución:
r=ds/dq, despejando tenemos r(dq)=(ds)
Es aquí donde integramos y obtenemos la ecuación de la loongitu de la curva, tú te vas a dar cuenta que con esto el problema está casi resuelto sólo faltaría saber desde donde a donde se integran EN EL PROBLEMA dice desde el punto sobre el foco hasta el vértice. Lo que sé es que teniendo r conozco las componentes por, y; pero como conozco las coordenadas del vértice y el otro que dice y no entiendo.
Un saludo.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
El vértice de la parábola sería el punto más cercano a la recta directriz. Lanzando la perpendicular a la recta directriz pasando por el foco sería la intersección con la parábola.
Pero claro, si no sabemos cuçal es la recta directriz mal ni el foco mal asunto.
Si la parabola es de la forma Y =ax^2 + bx + c es el punto máximo o mínimo, se obtiene al anular la derivada primera
y' = 2ax + b = 0 ==> x = -b/2a ==> haciendo cuentas y = - (b^2)/(4a) + c
Si es al revés x = ay^2 + by + c se hace parecido calculando el y
Tal vez te sirva el método de completar cuadrados
Si logras poner la ecuación de la parábola en la forma
(x-a)^2 = p(y-b) puede que (a,b) sea el vértice, veamos.
ax^2 + bx + c = y
x^2 + (b/a)x + c/a = y/a
(x + b/(2a))^2 - (b/(2a))^2 + c/a = y/a
(x + b/(2a))^2 = (1/a)(y - (a)[(c/a)-(b/(2a))^2])
(x + b/(2a))^2 = (1/a)[y - (c -(b^2)/4a)]
Sí, es verdad, coincide con los resultados de antes.
No hablemos de las parábolas en oblicuo. Esas tienen un termino no nulo dxy y no suelen verse en los ejercicios, pero existen y ahora no sabría calcular el vértice.
Pero cuando me la pones la ecuación en forma polar ya me pierdo.
r=d/(1-cosq)
A ver, r puede variar entre +-infinito y 2. Se supone que cuando sea más pequeño será el vértice. Además el vértice es un punto de simetría.
Vale, es una parábola que para t=PI tiene el radio mínimo eso es equivalente en cartesianas a (-2,0) y es simétrica respecto al eje X. Para distinguirla de otras parábolas tendría la for < o C. El vértice es (-2,0) en cartesisnas, en polares (PI, 2).
El punto sobre el foco será el alineado verticalmente con el foco. ¿Pero dónde está el foco?
¿No te habrán dado la teoría para el estudio de cónocas en forma polar? Es que si no, lo veo un poco crudo.
Pero claro, si no sabemos cuçal es la recta directriz mal ni el foco mal asunto.
Si la parabola es de la forma Y =ax^2 + bx + c es el punto máximo o mínimo, se obtiene al anular la derivada primera
y' = 2ax + b = 0 ==> x = -b/2a ==> haciendo cuentas y = - (b^2)/(4a) + c
Si es al revés x = ay^2 + by + c se hace parecido calculando el y
Tal vez te sirva el método de completar cuadrados
Si logras poner la ecuación de la parábola en la forma
(x-a)^2 = p(y-b) puede que (a,b) sea el vértice, veamos.
ax^2 + bx + c = y
x^2 + (b/a)x + c/a = y/a
(x + b/(2a))^2 - (b/(2a))^2 + c/a = y/a
(x + b/(2a))^2 = (1/a)(y - (a)[(c/a)-(b/(2a))^2])
(x + b/(2a))^2 = (1/a)[y - (c -(b^2)/4a)]
Sí, es verdad, coincide con los resultados de antes.
No hablemos de las parábolas en oblicuo. Esas tienen un termino no nulo dxy y no suelen verse en los ejercicios, pero existen y ahora no sabría calcular el vértice.
Pero cuando me la pones la ecuación en forma polar ya me pierdo.
r=d/(1-cosq)
A ver, r puede variar entre +-infinito y 2. Se supone que cuando sea más pequeño será el vértice. Además el vértice es un punto de simetría.
Vale, es una parábola que para t=PI tiene el radio mínimo eso es equivalente en cartesianas a (-2,0) y es simétrica respecto al eje X. Para distinguirla de otras parábolas tendría la for < o C. El vértice es (-2,0) en cartesisnas, en polares (PI, 2).
El punto sobre el foco será el alineado verticalmente con el foco. ¿Pero dónde está el foco?
¿No te habrán dado la teoría para el estudio de cónocas en forma polar? Es que si no, lo veo un poco crudo.
Por cierto he visto las preguntas que te enviaron y no son pocas ni tan fáciles, creo que va a llegar un momento en que no puedas abastecer a tantas personas, por eso te digo ¿conoces a un experto de esta página u otra que tenga altos conocimientos de matemática como tú?. Lo digo porque voy a tener varios problemas y al parecer no vas a resolver en un tiempo considerable, no te ofendas, sino lo digo pra así distribuir mis preguntas.
Saludos.
Saludos.
No se muy bien la teoría de cónicas en forma polar, pero creo que se deduce porque sea un punto P(x, y) de la parábola entonces x=rcosq, y=rsenq.
Saludos.
Saludos.
Si, pero como el problema venía en coordenadas polares intentaba resolverlo en ellas. Pero que le vamos hacer, el 99,99 de las cosas que he hecho han sido en cartesianas y esto también va a ser en cartesianas.
Por cierto arriba escribí algunos disparates cuando ponía 2 quería decir sqrt(d) y utilicé indistintamente que y t para referirme al ángulo.
Voy a centrar las ideas. Mis coordenadas cartesianas serán (r, t)
R para el radio
T para el ángulo
El cambio de polares a cartesianas se hace con esta igualdades:
r = sqrt(x^2 + y^2)
t = arctg(y/x)
Aunque para este problema conviene más usar este cambio equivalente
t = arcos(x/sqrt(x^2+y^2))
Con ello la ecuación de la parábola
r=d/(1-cost)
queda en
sqrt(x^2 + y^2) = d / [1-x/sqrt(x^2+y^2)]
sqrt(x^2 + y^2) = d / {[sqrt(x^2+y^2) - x] / sqrt(x^2+y^2)}
1 = d / [sqrt(x^2+y^2) - x]
sqrt(x^2+y^2) - x = d
sqrt(x^2+y^2) = d+x
x^2 + y^2 = (d+x)^2
x^2 + y^2 = d^2 + x^2 + 2dx
y^2 = d^2 + 2dx
y^2 = 2d(x +d/2)
Y aquí tenemos la ecuación casi canónica de la parábola.
De ella se deduce dos cosas
1) El vértice es el punto en cartesianas es (-d/2, 0)
2) La distancia del foco a la directriz es d. Pues esa distancia es la p de la ecuación canónica x^2 = 2px y en este caso es d quien juega el papel de p.
Luego la directriz y foco se alinean equidistantes del vértice y es x=-d la directriz y el foco es (0,0).
Luego el punto sobre el foco es en cartesianas (0, d)
En polares sería:
vértice (PI,-d/2)
Punto sobre el foco = (PI/2, d)
Y aquí te dejo esto porque no sé cómo querrás integrar la distancia. Si hacerlo en cartesianas o en polares. Solo sé que las distancias de segmentos es un problema generalmente difícil cuando no imposible de integrar. La simple integral de la longitud de la elipse es inexpresable en funciones elementales.
Por cierto arriba escribí algunos disparates cuando ponía 2 quería decir sqrt(d) y utilicé indistintamente que y t para referirme al ángulo.
Voy a centrar las ideas. Mis coordenadas cartesianas serán (r, t)
R para el radio
T para el ángulo
El cambio de polares a cartesianas se hace con esta igualdades:
r = sqrt(x^2 + y^2)
t = arctg(y/x)
Aunque para este problema conviene más usar este cambio equivalente
t = arcos(x/sqrt(x^2+y^2))
Con ello la ecuación de la parábola
r=d/(1-cost)
queda en
sqrt(x^2 + y^2) = d / [1-x/sqrt(x^2+y^2)]
sqrt(x^2 + y^2) = d / {[sqrt(x^2+y^2) - x] / sqrt(x^2+y^2)}
1 = d / [sqrt(x^2+y^2) - x]
sqrt(x^2+y^2) - x = d
sqrt(x^2+y^2) = d+x
x^2 + y^2 = (d+x)^2
x^2 + y^2 = d^2 + x^2 + 2dx
y^2 = d^2 + 2dx
y^2 = 2d(x +d/2)
Y aquí tenemos la ecuación casi canónica de la parábola.
De ella se deduce dos cosas
1) El vértice es el punto en cartesianas es (-d/2, 0)
2) La distancia del foco a la directriz es d. Pues esa distancia es la p de la ecuación canónica x^2 = 2px y en este caso es d quien juega el papel de p.
Luego la directriz y foco se alinean equidistantes del vértice y es x=-d la directriz y el foco es (0,0).
Luego el punto sobre el foco es en cartesianas (0, d)
En polares sería:
vértice (PI,-d/2)
Punto sobre el foco = (PI/2, d)
Y aquí te dejo esto porque no sé cómo querrás integrar la distancia. Si hacerlo en cartesianas o en polares. Solo sé que las distancias de segmentos es un problema generalmente difícil cuando no imposible de integrar. La simple integral de la longitud de la elipse es inexpresable en funciones elementales.
Oye pensándolo bienmejor resuelve toda la pregunta para que se vea más ordenado y el método que usas para llegar a ella.
Un saludo.
Un saludo.
La fórmula para calcular la longitud de un segmento comprendido entre x=a y x=b de una función f(x) expresada en coordenadas cartesianas es:
L = $sqrt(1+(f '(x))^2)dx en x€[a,b]
La ecuación de la parábola era:
y^2 = 2d(x +d/2)
Ya he comprobado que si despejo y sale una integral imposible o muy difícil, mejor despejo x.
x = (y^2 - d^2) / (2d)
x' = y/d
Y los límites en y son [0,d]
L = $sqrt[1+(y/d)^2] dy en y €[0,d]
L = (1/d) $ sqrt(y^2 + d^2) dy en y [0,d]
Esta integral se resuelve con la primera sustitución de Euler
sqrt(y^2 + d^2) = y + t
Lo que pasa que yo ya he cumplido mi cupo de integrales de este tipo que se pueden hacer en la vida. Esta la va ha hacer Derive 6.
L = ?d?·(2·LN(d·(v2·SIGN(d) + 1)) - LN(d ))/4 + v2·d/2
Como nosotros vamos a ser buenos y la d va a ser positiva podemos simplificar
L = d·(2·LN(d·(v2+1)) - LN(d ))/4 + v2·d/2
Yo juraría que se puede conseguir algo más y que la longitud fuera proporcional a de, pero no voy a ponerme a hacer la integral a mano como ya te decía.
L = $sqrt(1+(f '(x))^2)dx en x€[a,b]
La ecuación de la parábola era:
y^2 = 2d(x +d/2)
Ya he comprobado que si despejo y sale una integral imposible o muy difícil, mejor despejo x.
x = (y^2 - d^2) / (2d)
x' = y/d
Y los límites en y son [0,d]
L = $sqrt[1+(y/d)^2] dy en y €[0,d]
L = (1/d) $ sqrt(y^2 + d^2) dy en y [0,d]
Esta integral se resuelve con la primera sustitución de Euler
sqrt(y^2 + d^2) = y + t
Lo que pasa que yo ya he cumplido mi cupo de integrales de este tipo que se pueden hacer en la vida. Esta la va ha hacer Derive 6.
L = ?d?·(2·LN(d·(v2·SIGN(d) + 1)) - LN(d ))/4 + v2·d/2
Como nosotros vamos a ser buenos y la d va a ser positiva podemos simplificar
L = d·(2·LN(d·(v2+1)) - LN(d ))/4 + v2·d/2
Yo juraría que se puede conseguir algo más y que la longitud fuera proporcional a de, pero no voy a ponerme a hacer la integral a mano como ya te decía.
Está bien tu respuesta, pero falta el cálculo de la integral, siendo consciente ya respondiste a la pregunta y considero que preguntar más cosas ya sería para otra pregunta, entonces y si te lo mando en otra pregunta estarías dispuesto a desarrollar la integral paso a paso, lo que pasa el profe nos 2 problemas parecidos para que aprendamos a razonar y operar, por eso te pido por favor que respondas a la integral que tu dices que es complicado, pero ya en otra pregunta.
Atte:F.P.D.L.
Atte:F.P.D.L.
Ya, pero que con esas integrales nunca se llega a buen puerto. Y con este editor es horrible hacer un desarrollo de esos. De todas formas hoy ya termino la sesión. Manda la pregunta pero será en otro día.