Funcion aritmetica final...

Dianis 1556!
a) Es obvio:
Si s = 0 se suma un d^0 = 1 por cada divisor, luego tenemos tau(n)
Si es = 1 se suma un d^1 por cada divisor, es decir, el mismo. Y eso es sigma(n) por definición
b) Hay que demostrar que sigma_s(nm) = sigma_s(n) · sigma_s(m) si n y m coprimos.
Si n y m son coprimos no tienen ningún factor primo común y el conjunto de divisores de n·m es el de los divisores de n por el de los divisores de m. Esto es así porque también incluimos el 1 como divisor de n y de m, por lo que mediante el producto de unos con otros obtenemos los que dividen a n y m y los que solo dividen a n o solo a m.
Sigma_s(nm) = Sumatorio en d|(nm) de d^s =
Sumatorio en e|n y f|m de (ef)^s = Sumatorio en e|n y f|m de (e^s)(f^s) =
(Sumatorio en e|n de e^s) · (Sumatorio en f|m de f^s) = sigma_s(n) · sigma_s(m)
Luego es multiplicativa.
c) Cada uno de los factores tiene la forma:
(pi^[s(ki+1)] - 1) / (pi^s - 1) = [(pi^s)^(ki+1) -1] / (pi^s - 1) =
Para verlo bien claro llamemos a = pi^s
= [a^(ki+1) - 1] (a - 1) =
Esto es un ecuación ciclotomica que se sabe (y si no se puede comprobar fácilmente por inducción que tiene el valor
= (1 + a + a^2 + ... + a^ki)
= 1 + pi^s + (pi^s)^2 + ...* (pi^s)^ki
Si ponemos todos los factores es algo así
[1+p1^s+...+(p1^s)^k1] · [1+p2^s+...+(p2^s)^k2] ··· [1+pr^s+...+(pr^s)^kr]
Este producto nos da todos los divisores n elevados a la es, ya que si
d = pi1^ki1 · pi2^ki2 ··· pij^kij era un divisor de p
aquí vamos a tener
(pi1^s)^ki1 · (pi2^s)^ki2 ··· (pij^s)^kij =
(pi1^ki1)^s · (pi2^ki2)^s ···(pij^kij)^s =
[(pi1^ki1)(pi2^ki2)(pij^kij)]^s = d^s
Luego enlazando el principio con el final:
El multiplicatorio
(pi^[s(ki+1)]-1) / (pi^s-1) con 1 <= i <= r
Nos da la suma de todos los divisores de n elevados a la es, que es exactamente la definición de sigma_s(n)
Y eso es todo.