Duda con un teorema de límites
Hola Valeroasm!
Si pero distinto de cero entonces
lim(x tiende a xo)[f(x)]=lim(x tiende a 1)[f(x.xo)]
Demostración:
(El delta para el límite del sgundo miembro tómese como d1=d/|xo|)
Dado e>0, existe al menos un d>0 tal que[Para todox E Domf ^0<|x-xo|<d]
entonces|f(x)-L|<e:
Haciendo h=x/xo se transforma en :
[Para todo x E Domf^0<|h.xo-xo|<d
si y sólosi 0<|xo(h-1)|<d
si y sólo si 0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e]
Lim(x tiende a xo)[f(x)]=lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=lim(x tiende a 1)[f(x.xo)]
Primeramente quiero que me digas si mi demostración es correcta. Si lo es entonces contesta la siguiente duda y si no dime por qué.
Recordemos la definición de límite:
Para cada e>0, existe al menos un d>0 tal que:(Sea pero un punto de acumulación del Domf)
[Para todo x E Domf ^0<|x-xo|<d entonces 0<|f(x)-L|<e]
Segun esto decimos lim(x tiende a xo)[f(x)]=L [[¿Es así la definicion?]]
Retornemos al problema:
[Para todo x E Domf^0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e]
A partir de aquí concluímos lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=L.
Pero lo más correcto no sería decir:
[Para todo h E Domf^0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e] para concluir lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=L
¿Qué opinas? (Entonces si lo que está sombreado sería correcto y la primera conclusión no,¿cómo demuestras este teorema de forma rigurosa?)
Saludos.
Si pero distinto de cero entonces
lim(x tiende a xo)[f(x)]=lim(x tiende a 1)[f(x.xo)]
Demostración:
(El delta para el límite del sgundo miembro tómese como d1=d/|xo|)
Dado e>0, existe al menos un d>0 tal que[Para todox E Domf ^0<|x-xo|<d]
entonces|f(x)-L|<e:
Haciendo h=x/xo se transforma en :
[Para todo x E Domf^0<|h.xo-xo|<d
si y sólosi 0<|xo(h-1)|<d
si y sólo si 0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e]
Lim(x tiende a xo)[f(x)]=lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=lim(x tiende a 1)[f(x.xo)]
Primeramente quiero que me digas si mi demostración es correcta. Si lo es entonces contesta la siguiente duda y si no dime por qué.
Recordemos la definición de límite:
Para cada e>0, existe al menos un d>0 tal que:(Sea pero un punto de acumulación del Domf)
[Para todo x E Domf ^0<|x-xo|<d entonces 0<|f(x)-L|<e]
Segun esto decimos lim(x tiende a xo)[f(x)]=L [[¿Es así la definicion?]]
Retornemos al problema:
[Para todo x E Domf^0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e]
A partir de aquí concluímos lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=L.
Pero lo más correcto no sería decir:
[Para todo h E Domf^0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e] para concluir lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=L
¿Qué opinas? (Entonces si lo que está sombreado sería correcto y la primera conclusión no,¿cómo demuestras este teorema de forma rigurosa?)
Saludos.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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