Anónimo
Teorema de límites
Hola valeroasm!
Teorema de unicidad de limites.
Sea lim (xa xo) de f(x)=L1, y lim (x a xo) de f(x)=L2 entonces L1=L2 siempre que xo sea punto de acumulacion del dominio de la funcion.
Te pregunto ¿qué pasaría si pero no fuese P.Acumulación?
Sol)
Para todo e>0, e1=e2=e/2>0, existen d1,d2>0 tales que:
x E Domf^0<|x-xo|<d1 entonces |f(x)-L2|<e1...(i)
x E Domf^0<|x-xo|<d2 entonces |f(x)-L2|<e2...(ii)
Entonces existe algún punto x1 distinto de xo que E Domf tal que.
0<|x1-xo|<d entonces d= min{d1,d2}.
Esto implica que |L1-L2|<2e1=e, de...(i) y ...(ii)
Y como |L1-L2|<e para todo e >0, entonces L1-L2=0, L1=L2.
[[Esta última parte creo que significa que lim(x1 a xo)de L1=L2 y como es una cte lim(x1 a xo)de L1=L1=L2.¿Lim de un cte surge antes que la unicidad de límite?Encuentras otra justificación, quizas me respondes que cada vez que aparezca |L1-L2|<e para todo e>0 significa que L1=L2, pero te digo en |f(x)-L|<e para todo e>0 ¿no significa que f(x)=L?]]
Saludos.
Teorema de unicidad de limites.
Sea lim (xa xo) de f(x)=L1, y lim (x a xo) de f(x)=L2 entonces L1=L2 siempre que xo sea punto de acumulacion del dominio de la funcion.
Te pregunto ¿qué pasaría si pero no fuese P.Acumulación?
Sol)
Para todo e>0, e1=e2=e/2>0, existen d1,d2>0 tales que:
x E Domf^0<|x-xo|<d1 entonces |f(x)-L2|<e1...(i)
x E Domf^0<|x-xo|<d2 entonces |f(x)-L2|<e2...(ii)
Entonces existe algún punto x1 distinto de xo que E Domf tal que.
0<|x1-xo|<d entonces d= min{d1,d2}.
Esto implica que |L1-L2|<2e1=e, de...(i) y ...(ii)
Y como |L1-L2|<e para todo e >0, entonces L1-L2=0, L1=L2.
[[Esta última parte creo que significa que lim(x1 a xo)de L1=L2 y como es una cte lim(x1 a xo)de L1=L1=L2.¿Lim de un cte surge antes que la unicidad de límite?Encuentras otra justificación, quizas me respondes que cada vez que aparezca |L1-L2|<e para todo e>0 significa que L1=L2, pero te digo en |f(x)-L|<e para todo e>0 ¿no significa que f(x)=L?]]
Saludos.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
No, hay un teorema sin utilizar límites que dice que dados a y b € R, si |a-b|<e para todo e>0 entonces a=b. Y sé seguro que lo hay, pero por si no, ahí va la demostración.
si a>b tomemos e = a-b y debe cumplirse a - b < e = a-b contradictorio
y si a<b tomemos e = b-a y debe cumplirse b-a < e = b-a contradictorio.
Luego a = b y no ha hecho falta haber definido previamente el límite de una función constante.
Que una función tenga un limite pero un valor distinto no tiene que ver con esto. En una función podemos dar el valor que queramos en un punto para hacerla discontinua.
Con respecto a la pregunta del comienzo: No recuerdo yo que me enseñaran lo del punto de acumulación cuando estudie, pero la memoria es frágil. Y si hacía falta, hacía falta entonces y ahora.
Entonces nos dice que si pero no es punto de acumulación, puede ser que f(x) cuando x tiende a pero tenga dos límites distintos... curioso!
Por definición pero es punto de acumulación de Dom f si toda vecindad de pero tiene al menos un punto de Dom f distinto de pero.
Si pero no es punto de acumulación de Dom f existirá un delta tal que para todo x con 0<|x-xo|<delta se cumpla que x no € a Dom f
Con lo cual para cualquier epsilon que nos den tomeremos este delta y se cumplir:
Dom f ^ 0<|x-xo|<delta = vacio
Y entonces podremos tomar como límite el L el número que nos de la gana porque cualquiera cumplirá la condición del límite. Ya que se habrá podido hacer ninguna verificación de |f(x) - L| < e por ser Dom f ^ 0<|x-xo|<delta = vacio, se supone que lo ha cumplido para todos los x de ese intervalo y a la vez del dominio.
Y eso es todo.
si a>b tomemos e = a-b y debe cumplirse a - b < e = a-b contradictorio
y si a<b tomemos e = b-a y debe cumplirse b-a < e = b-a contradictorio.
Luego a = b y no ha hecho falta haber definido previamente el límite de una función constante.
Que una función tenga un limite pero un valor distinto no tiene que ver con esto. En una función podemos dar el valor que queramos en un punto para hacerla discontinua.
Con respecto a la pregunta del comienzo: No recuerdo yo que me enseñaran lo del punto de acumulación cuando estudie, pero la memoria es frágil. Y si hacía falta, hacía falta entonces y ahora.
Entonces nos dice que si pero no es punto de acumulación, puede ser que f(x) cuando x tiende a pero tenga dos límites distintos... curioso!
Por definición pero es punto de acumulación de Dom f si toda vecindad de pero tiene al menos un punto de Dom f distinto de pero.
Si pero no es punto de acumulación de Dom f existirá un delta tal que para todo x con 0<|x-xo|<delta se cumpla que x no € a Dom f
Con lo cual para cualquier epsilon que nos den tomeremos este delta y se cumplir:
Dom f ^ 0<|x-xo|<delta = vacio
Y entonces podremos tomar como límite el L el número que nos de la gana porque cualquiera cumplirá la condición del límite. Ya que se habrá podido hacer ninguna verificación de |f(x) - L| < e por ser Dom f ^ 0<|x-xo|<delta = vacio, se supone que lo ha cumplido para todos los x de ese intervalo y a la vez del dominio.
Y eso es todo.