Anónimo
Ayuda para resolver un problema de matemáticas con circunferencias y tangentes...
Analiza si estas circunferencias son tangentes al eje por al eje y o ambos ejes
a) x(2)+y(2)-4x-2y+1=0
b) x(2)+y(2)-2x+2y+1=0
c)x(2)+y(2)+6y-4x+4=0
d)x(2)+y(2)+6x+6y+9=0
a) x(2)+y(2)-4x-2y+1=0
b) x(2)+y(2)-2x+2y+1=0
c)x(2)+y(2)+6y-4x+4=0
d)x(2)+y(2)+6x+6y+9=0
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
¡Toma ya!
Este problema si que no tengo recuerdo de haberlo hecho.
Bueno, una recta es tangente a una circunferencia cuando su distancia al centro es exactamente el radio de la circunferencia.
Y la distancia de una recta Ax + By + C = 0 a un punto (x1,y1) es
|Ax1 + By1 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
Pero como nos piden tangencias a los ejes POR e Y es incomparablemente más sencillo.
La distancia de un punto (x1, y1) el eje POR es |y1|
La distancia de un punto (x1, y1) el eje Y es |x1|
Tendremos que calcular los centros y el radio.
a) x^2+y^2-4x-2y+1=0
Conoces el método de completar cuadrados, creo que sí.
En esta ecuación toma los términos con x
x^2 - 4x
Eso proviene de un cuadrado de la forma (x-2)^2 ya que
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
Si yo susituyo en la ecuación x^2 - 4x por (x-2)^2 habré sumado 4 más a la ecuación, luego se lo restaré inmediatamente para no alterarla
De la misma forma tomamos los términos con y que son
y^2 - 2y
Eso proviene de un cuadrado (y-1)^2
(y-1)^2 = y^2 - y +1
Y como ewsto suma 1 más habrá que restarlo
Haciendo estas dos sustituciones y restando inmediatamente los excesos tenemos:
x^2+y^2-4x-2y+1=0 es equivalente a
(x-2)^2 - 4 + (y-1)^2 - 1 +1 = 0
(x-2)^2 +(y-1)^2 - 4 =0
(x-2)^2 +(y-1)^2 = 4
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 2^2
Y hemos transformado la ecuación general en la que nos dice inmediatamente cual es el centro y el radio. El centro en x es lo que va tras el - de la x, el centro en y es lo que va tras el - de la y y el radio es la raíz cuadrada de lo que hay a la derecha
El centro es (2,1) y el radio 2
Traigo aquí lo deducido arriba
La distancia de un punto (x1, y1) el eje X es |y1|
La distancia de un punto (x1, y1) el eje Y es |x1|
Tenemos que |x1|= 2 = radio
luego la distancia al eje Y es igual al radio
Luego la circunferencia x^2+y^2-4x-2y+1=0 es tangente al eje Y.
b) x^2+y^2-2x+2y+1=0
Completamos cuadrados x^2 - 2x se complete con (x-1)^2; y^+2y con (y+1)^2
(x-1)^2 -1 +(y+1)^2 -1 + 1 = 0
(x-1)^2 +(y+1)^2 -1 = 0
(x-1)^2 +(y+1)^2 = 1
El centro es (1, -1) y el radio 1
La distancia del centro a los ejes es el radio en ambos casos luego:
La circunferencia x^2+y^2-2x+2y+1=0 es tangente a los eje X e Y
c) x^2+y^2+6y-4x+4=0
Completamos cuadrados x^2 - 4x con (x-2)^2; y^2+6y con (y+3)^2
(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 -9 + 4 = 0
(x-2)^2 + (y+3)^2 - 9 = 0
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 3^2
El centro es (2, -3) y el radio 3
es |y1| =`|-3| = 3 = radio
Luego la distancia al eje X es el radio
La circunferencia x^2+y^2+6y-4x+4=0 es tangente al eje X
d) x^2+y^2+6x+6y+9=0
Completamos cuadrados, ambos con +3
(x+3)^2 - 9 + (y+3)^2 - 9 + 9 = 0
(x+3)^2 + (y-3)^2 - 9 = 0
(x+3)^2 + (y-3)^2 = 3^2
El centro es (-3,-3) y el radio 3
La distancia del centro a ambos ejes es 3 al igula que el radio.
La circunferencia x^2+y^2+6x+6y+9=0 es tangente a los ejes X e Y
Y eso es todo. Te he enseñado un método que es como hacíamos cosas similares en la universidad, si el libro o el profesor te dice otra forma deberás hacerlo de esa forma.
Este problema si que no tengo recuerdo de haberlo hecho.
Bueno, una recta es tangente a una circunferencia cuando su distancia al centro es exactamente el radio de la circunferencia.
Y la distancia de una recta Ax + By + C = 0 a un punto (x1,y1) es
|Ax1 + By1 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
Pero como nos piden tangencias a los ejes POR e Y es incomparablemente más sencillo.
La distancia de un punto (x1, y1) el eje POR es |y1|
La distancia de un punto (x1, y1) el eje Y es |x1|
Tendremos que calcular los centros y el radio.
a) x^2+y^2-4x-2y+1=0
Conoces el método de completar cuadrados, creo que sí.
En esta ecuación toma los términos con x
x^2 - 4x
Eso proviene de un cuadrado de la forma (x-2)^2 ya que
(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4
Si yo susituyo en la ecuación x^2 - 4x por (x-2)^2 habré sumado 4 más a la ecuación, luego se lo restaré inmediatamente para no alterarla
De la misma forma tomamos los términos con y que son
y^2 - 2y
Eso proviene de un cuadrado (y-1)^2
(y-1)^2 = y^2 - y +1
Y como ewsto suma 1 más habrá que restarlo
Haciendo estas dos sustituciones y restando inmediatamente los excesos tenemos:
x^2+y^2-4x-2y+1=0 es equivalente a
(x-2)^2 - 4 + (y-1)^2 - 1 +1 = 0
(x-2)^2 +(y-1)^2 - 4 =0
(x-2)^2 +(y-1)^2 = 4
(x-2)^2 + (y-1)^2 = 2^2
Y hemos transformado la ecuación general en la que nos dice inmediatamente cual es el centro y el radio. El centro en x es lo que va tras el - de la x, el centro en y es lo que va tras el - de la y y el radio es la raíz cuadrada de lo que hay a la derecha
El centro es (2,1) y el radio 2
Traigo aquí lo deducido arriba
La distancia de un punto (x1, y1) el eje X es |y1|
La distancia de un punto (x1, y1) el eje Y es |x1|
Tenemos que |x1|= 2 = radio
luego la distancia al eje Y es igual al radio
Luego la circunferencia x^2+y^2-4x-2y+1=0 es tangente al eje Y.
b) x^2+y^2-2x+2y+1=0
Completamos cuadrados x^2 - 2x se complete con (x-1)^2; y^+2y con (y+1)^2
(x-1)^2 -1 +(y+1)^2 -1 + 1 = 0
(x-1)^2 +(y+1)^2 -1 = 0
(x-1)^2 +(y+1)^2 = 1
El centro es (1, -1) y el radio 1
La distancia del centro a los ejes es el radio en ambos casos luego:
La circunferencia x^2+y^2-2x+2y+1=0 es tangente a los eje X e Y
c) x^2+y^2+6y-4x+4=0
Completamos cuadrados x^2 - 4x con (x-2)^2; y^2+6y con (y+3)^2
(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 -9 + 4 = 0
(x-2)^2 + (y+3)^2 - 9 = 0
(x-2)^2 + (y+3)^2 = 3^2
El centro es (2, -3) y el radio 3
es |y1| =`|-3| = 3 = radio
Luego la distancia al eje X es el radio
La circunferencia x^2+y^2+6y-4x+4=0 es tangente al eje X
d) x^2+y^2+6x+6y+9=0
Completamos cuadrados, ambos con +3
(x+3)^2 - 9 + (y+3)^2 - 9 + 9 = 0
(x+3)^2 + (y-3)^2 - 9 = 0
(x+3)^2 + (y-3)^2 = 3^2
El centro es (-3,-3) y el radio 3
La distancia del centro a ambos ejes es 3 al igula que el radio.
La circunferencia x^2+y^2+6x+6y+9=0 es tangente a los ejes X e Y
Y eso es todo. Te he enseñado un método que es como hacíamos cosas similares en la universidad, si el libro o el profesor te dice otra forma deberás hacerlo de esa forma.