Dudas con matemáticas

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Fabian pdl!
Si dices que cada divisor común de a y b divide a de es porque de es el máximo común divisor de a y b.
En efecto, dados a y b existen por, y € tales que
ax + by = mcd(a,b) = d
La demostración se basa en el algoritmo extendido de Euclides para el cálculo del máximo común divisor.
Según este algoritmo suponiendo a>=b se cumple
d = mcd(a, b) = mcd (b, resto de a/b). Se va iterando el proceso hasta que el resto da cero y el mcd(a, b) es el divisor que había cuando se consiguió ese resto cero.
Ahora se recorre el camino en sentido inverso para hallar por e y
El ultimo divisor de era el resto de una división anterior, puede ponerse como combinación lineal del dividendo y divisor dwe aquella división
d = dividendo - cociente x divisor
Pero a su vez esos dividendo y divisor eran restos de otra división anterior. Al final todo puede ponerse por composioción en combinación lineal de los primeros números que hubo a y b.
Esto no se ve claro si se pone un ejemplo.
Sean los números 14 y 8
Dividimos por ocho: 14 = 8 · 1 + 6
Dividimos por seis: 8 = 6 · 1 + 2
Dividimos por dos: 6 = 2 · 3 + 0
El mcd(14,8) es el último divisor, que fue el 2
2 era el resto de cuando dividimos por 6, lo podemos poner en combinación lineal de restos anteriores o de los números iniciales
2 = 8 - 6·1
y 6 era resto de la división anterior
2 = 8 - (14 - 8 ·1)·1 = 8 - 14 + 8 = 8 · 2 - 14
Ya lo conseguimos:
14 (-1) + 8 · 2 = 2
x = -1
y = 2
Puedes ponerte números más difíciles para probar.
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No entiendo la segunda duda, no le encuentro sentido a:
Dado z(x)=x^n, se define z(x)=nx^(n-1)
Y ademas después de definirlo ya no aparece más ese z(x).
¿Podrías plantear mejor la duda?

1) Tu demostración está bien, en este tiempo también encontré la demostración de la primera duda en un libro que me es difícil de comprender, dice así:
Cada par de enteros a y b admite un divisor común d de la forma d = ax + by
donde x e y son enteros. Además, cada divisor común de a y b divide a d.
Demostración. Supongamos primeramente que a > O Y b > O y procedamos por
inducción sobre n = a + b. Si n = O, entonces a= b = O Y podemos tomar
d = O con x = y = O. Supongamos entonces que el teorema ha sido probado
para O, 1, 2, ... , n - 1. Por simetría podemos suponer (a mayor o igual a b). Si b =0, entonces
d = a, x = 1, y = O. Si b > 1 podemos aplIcar la hIpóteSIS de inducción
a (a - b) y (b), ya que su suma es a = n - b < n-1. Por lo tanto existe
un divisor común d de a - b y b de la forma d = (a - b)x + by. Este entero d
divide también a (a - b) + b = a, luego d es un divisor común de a y de b
y tenemos que d = ax + (y-x)b, es combinación lineal de a y b. Para completar
la demostración debemos probar que cada divisor común divide a d.
Como un divisor común divide a a y b, dividirá también a la combinación
lineal ax + (y - x)b = d. Esto completa la demostración si a > 0 Y b > O. Si
uno de ellos o ambos fuesen negativos, aplicaríamos el resultado que acabamos
de demostrar a lal y |bl.
Quisiera que me digas si hay una error en esta demostrácion o sino explicame en un lenguaje un poco más sencillo pero que no se desvíe mucho de esta última explicación.
2)Efectivamente me falto aclarar mi duda.
Dado z(x)=x^n, se define z(x)´=nx^(n-1), para todo n E Z positivos incluido el cero y sea
J(x)=sumatoria desde n hasta infinito de[((-1)^n)(x^2n)/((4^n)((nfactorial)^2)]
Calcular x(J´´(x))+ x(J´(x))+ x(J(x))
Sol)
´,´´, primera y segunda derivada respectivamente.
Considero que no fue necesario el primer dato ya que se conoce por propiedad de derivadas.Yo resolví este problema reemplazando nada más y resultó cero, pero quisiera saber si existe otra manera de resolver no sé aplicando derivadas y llegando a la conclusión de que esta función es cero.Lo digo porque resolver reemplazando es operativo.
¿Algunos símbolos que no he colocado como la sumatoria o el factorial y otros conocidos es aceptado por esta pag, sino mencióname algunos de los símbolos que aceptan este sistema y en que pag los encuentro?
Saludos.

Pues me he quedado gratamente sorprendido con esta demostración. Porque yo precisamente siempre había querido tener una demostración asequible de esto y es la mejor por no decir la única que he encontrado.
¿Conoces las demostraciones por inducción? Se aplican para demostrar que una propiedad la cumplen todos los númeors naturales.
La demostración se hace comprobando que el número uno (o cero) cumple esa propiedad y que si un número n la cumple, se deduce que también la cumple el número n+1.
Hay unas demostraciones similares que se llaman de inducción completa. Hay que comprobar que el primer elemento (normalmente el 1) cumple la propiedad y que si la cumplen todos los números 1,2,3, ... hasta el n también la cumple el número n+1.
La que tenemos aquí es de inducción completa y me ha convencido pero por completo.
Si acaso ahora que te he dejado este comentario tal vez la puedas revisar y entender.
El autor varía un poco el guión porque demuestra que cualesquiera dos números que sumen n lo cumplen si lo cumplen los anteriores hasta n-1, pero eso da lo mismo.
En esencia demuestra que todos los números a y b que sumen n lo cumplen si lo cumplen los que sumaban menos de n. Ahora n ya ha pasado al club y se puede aplicar la inducción a n+1 que vuelve a cumplirlo porque lo cumplen hasta el n y así sucesivamente lo cumple cualquier número natural.
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Conectando con una pregunta que ya has cerrado. Las ecuaciones en diferencias no son lo mismo que las ecuaciones diferenciales aunque puedan tener alguna conexión.
Las diferenciales se componen de funciones y sus derivadas y hay que calcular una fúncion.
La ecuaciones en diferencias tienen relaciones entre elementos de una sucesión y se trata de obtener el término general de la sucesión. Bueno, tal vez no sea del todo correcto esto que dije, pero es lo que se le queda a uno.
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Lo de los símbolos es muy sencillo. Rellena una pregunta que nosea pregunta sino una prueba. En cada línea pones la descripción del símbolo y seguido el símbolo. Mandas la pregunta al tablón en vez de a un experto y luego la miras para ver que símbolos han quedado bien y cuales no.
Yo no soy partidario de usar más que lo que se puede escribir con el teclado, bastante trabajo tengo con responder todas las preguntas que respondo como para andar con florituras de tener un word abierto para copiar símbolos y pegarlos aquí, me volvería loco y no avanzaría nada. Ahora bien, el usuario puede hacerlo si quiere. Lo cual no quiere decior que yo vaya a usar después los símbolos que el uso.
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Y respecto al problema 2 sigo sin verlo.
Primero porque dices:
J(x)=sumatoria desde n hasta infinito de
Pero debes decir cual es el primer valor de n
Sumatorio desde n = 0 hasta infinito
o sumatorio desde n = 1 hasta infinito
O cualquier otra cosa.
Y segundo porque al final no sé con que quedarme:
Si es J(x) lo que vale cero
o es x(J´´(x))+ x(J´(x))+ x(J(x)) lo que vale cero.
Y otra cosa. Entonces lo de
"Dado z(x)=x^n, se define z(x)´=nx^(n-1), para todo n E Z positivos incluido el cero"
No tiene nada que ver y se puede prescindir de ello ¿no?
Mandame las aclaraciones pronto si puede ser, ya son las 7:15 y me voy a echar a dormir dentro de nada.

2)Efectivamente me falto aclarar mi duda.
Dado z(x)=x^n, se define z(x)´=nx^(n-1), para todo n E Z positivos incluido el cero y sea
J(x)=sumatoria desde n=0 hasta infinito de[((-1)^n)(x^2n)/((4^n)((nfactorial)^2)]
Calcular x(J´´(x))+ x(J´(x))+ x(J(x))
La respuesta es cero.
Saludos.

No acabo de entenderlo. ¿Con J' y J'' quieres decir derivada primera y derivada segunda?
Porque con la definición que das unicamente puedo calcular esas funciones prima y doble prima para un monomio con coeficiente uno. No dices nada tampoco de como de como se comportan las funciones prima y doble prima para la suma de dos monimios, el producto por una constante, etc. Eso tiene que decirse sino ya te digo que únicamente podre calcular primas y doble primas de monomios con coeficiente uno. Mientras que si prima y doble prima significan derivada primera y segunda si que sabríamos ya por las propiedades de las derivadas como calcular J' Y J''.
Pues eso, que falta definir mucho más acerca de cómo operan las funciones prima y doble prima para poder abordar el problema. Por lo menos habría que decir que prima es una función lineal, no es una cosa que se tenga que dar por supuesta.

1)Gracias por la explicarme acerca de la inducción matemática, pero en este caso como creo comprender se utiliza la I.M al inicio y no en la conclusión ¿verdad?, por cierto hay algunos puntos en los cuales me he confundido en transcribir te mando de nuevo el texto con las correcciones que aquí están subrayadas y las partes que tengo dudas en negrita.
Cada par de enteros a y b admite un divisor común de de la forma de = ax + by
donde por e y son enteros. Además, cada divisor común de a y b divide a d.
Demostración. Supongamos primeramente que (a es mayor o igual a cero) Y( bmayor o igual a cero) y procedamos por
inducción sobre n = a + b. Si n = O, entonces a= b = O Y podemos tomar
d = O con x = y = O. Supongamos entonces que el teorema ha sido probado
para O, 1, 2, ... , n - 1. Por simetría podemos suponer (a mayor o igual a b). Si b =0, entonces
d = a, x = 1, y = O. Si( b > 1 ó b=1) podemos aplIcar la hIpóteSIS de inducción
a (a - b) y (b), ya que su suma es a = n - b < n-1. Por lo tanto existe
un divisor común d de a - b y b de la forma d = (a - b)x + by. Este entero d
divide también a (a - b) + b = a, luego d es un divisor común de a y de b
y tenemos que d = ax + (y-x)b, es combinación lineal de a y b. Para completar
La demostración debemos probar que cada divisor común divide a d.
Como un divisor común divide a a y b, dividirá también a la combinación
lineal ax + (y - x)b = d. Esto completa la demostración si a > 0 Y b > O. Si
uno de ellos o ambos fuesen negativos, aplicaríamos el resultado que acabamos
de demostrar a lal y |bl.
Quisiera que me digas si hay una error en esta demostrácion o sino explicame en un lenguaje un poco más sencillo pero que no se desvíe mucho de esta última explicación.
Siendo más minucioso en el momento de ver si la demostración es correcta, observe que a y b no pueden ser cero ambos a la vez ya que no cumplirían ya que en este caso d=0 y no cumple ya que cero no es divisor de ningún numero, también tengo una incertidumbre en el enunciado del problema, veo una ambigüedad eso creo, entiendo 2 casos:
a)A partir de (Cada par de enteros a y b admite un divisor común d, además cada divisor común de a y b divide a d) entonces (d) tiene esta forma: d = ax + by donde x e y son enteros.
b)Cada par de enteros a y b admite un divisor común d de la forma d = ax + by
donde x e y son enteros entonces en consecuencia cada divisor común de a y b divide a d.
Para mi es la primera opción, pero en el problema dice que es lo segundo en la parte negrita.
2)Dado z(x)=x^n, se define z(x)´=nx^(n-1), para todo n E Z positivos incluido el cero y sea
J(x)=sumatoria desde n=0 hasta infinito de[((-1)^n)(x^2n)/((4^n)((nfactorial)^2)]
Calcular x(J´´(x))+ x(J´(x))+ x(J(x))
Efectivamente J' y J'' quiero decir derivada primera y derivada segunda.
La respuesta es cero.
Saludos.

La inducción matemática completa es todo un proceso. Se tiene que comprobar o demostrar aparte que la hipótesis es cierta para un conjunto de números iniciales y luego demostrar que un número cualquiera la cumple si la cumple un número o unos números anteriores.
Entonces el cumplimiento para n se supedita al cumplimiento para un conjunto {m1, m2,... mk} anteriores. Asimimismo, el cumplimiento para cada uno de estos m1,.. mk se supedita al cumplimiento de la hipótesis para otros números anteriores. El proceso es finito porque cada vez son números estrictamente menores. El secreto para que la demostración por inducción completa esté bien hecha es que esta cadena de delegaciones siempre acabe en unos números para los cuales se hizo la comprobación o demostración tácita de que la hipótesis era cierta.
Una vez hemos hecho todos los razonamientos, suele exponerse el teorema en este orden: primero se comprueba o demuestra la hipótesis para los números iniciales y después se demuestra que un número n la cumple si la cumplen números anteriores y se demuestra que esa cadena de delegaciones siempre acaba en números inicialmente demostrados.
En la fase de estudio de la demostración el orden suele ser inverso, tu vas delegando, delegando a números anteriores y al final te das cuenta de cuál es el conjunto de números iniciales que necesitarán comprobación o demostración propia.
Según como exponga la demostración propia persona puede variar este orden, hay quien es más estricto con el orden, parece como un robot y quien es más relajado. El orden estricto aporta rigor, el relajamiento hace participar al oyente del mismo proceso creativo que siguió el que lo demostró. Y hay quien tiene las ideas claras del orden y quien duda mientras va demostrando. Pero eso es lo mismo que el que escribe una carta o un libro, cada uno tiene su estilo y también hay maestros y personas normales.
Oye, te dejo esto ya, aunque ya sé que no he contestado casi nada de lo que me decías, pero tengo que apagar el ordenador y hacer otras cosas.

Por supuesto tienes toda la razón:
El orden estricto aporta rigor, el relajamiento hace participar al oyente del mismo proceso creativo que siguió el que lo demostró.
Pero te pide un favor que me ayudes a despejar mis inseguridades, ya que a veces uno puede ver cosas cuando en sí no las hay. También contestame las dudas y el problema 2)
Saludos.

Pues es lo que te decía Fabián. Yo creo que ya he dedicado mucho esfuerzo y tiempo a esta pregunta. Por eso creo que lo apropiado es puntuarla para cerrarla y mandar de nuevo las dudas que queden pendientes en otra pregunta. Piensa en el esfuerzo que me está causando esta pregunta o la de las dudas con los límites, mira toda la extensión y profundidad que tienen y verás que merecen muchos más de puntos que los que me dan por contestar una vulgar ecuación de segundo grado a lo sumo.