Ejemplos de Transformaciones Lineales

Vamos con esos cuatro ejemplos:
1) Expansión. Es como los puntos de un globo cuando se ha hinchado.
Es f de R3 en R3
f(x, y, z) = (kx, ky, kz) con k distinto de cero
Hay que comprobar que es lineal
f(a(x,y,z) + b(u,v,w)) = f(ax+bu, ay+bv, az+bw) = (kax + kbu, kay + kbv, kaz + kbw)
a·f(x,y,z) + b·f(u,v,w) = a(kx, ky, kz) + b(ku, kv, kw) = (akx + bku, aky +bkv, akz + bkw)
que es lo mismo salvo el orden de factores. Luego es lineal.
El núcleo es ker f = {(0,0,0)} puesto que siendo k distinto de cero
(kx, ky, kz) = 0 ==> (x,y,z) = (0,0,0)
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2) Proyección de los puntos del espacio vector en el plano z = 0
Es de R3 en R3
f(x, y, z) = (x, y, 0)
Veamos que es lineal
f(a(x,y,z) + b(u,v,w)) = f(ax+bu, ay+bv, az+bw) = (ax+bu, ay+bv, 0)
a·f(x,y,z) + b·f(u,v,w) = a(x, y, 0 ) + b(u, v, 0) = (ax+bu, ay+bv, 0) Luego es líneal
Ker(f) ={(0,0,z) | z pertenece a R} es un subespacio de dimensión 1, es la recta del eje Z.
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3) Giro de 45 grados en el plano.
Es de R2 en R2
La matriz para un giro en el plano de un ángulo alfa es
cos(alfa) - sen(alfa
Sen(alfa) cos(alfa)
La función f será
f(x, y) = (xcos(alfa) - ysen(alfa), xsen(alfa) + y cos(alfa))
Que en nuestro caso será
f(x,y) = (x·sqrt(2)/2 - y·sqrt(2)/2, x·sqrt(2)/2 + y·sqrt(2)/2))
mejor que la simplifiquemos:
f(x,y) = [sqrt(2)/2](x-y, x+y)
Para arrastrar menos letra llamemos c = sqrt(2)/2
f(x,y) = c(x-y, x+y)
f(a(x,y) + b(u,v)) = f(ax+bu, ay+bv) = c (ax+bu-ay-bv, ax+bu+ay+bv)
af(x,y) + bf(u,v) = ac(x-y, x+y) + bc(u-v, u+v) = c(ax-ay+bu-bv, ax+ay+bu+bv) que es lo mismo salvo cambios de orden y es lineal
El núcleo será:
f(x,y) = 0 ==> c(x+y, x-y) = (0,0) ==>
x+y = 0
x-y = 0
Sumando ambas queda 2x = 0 ==> x = 0 y después y = 0. Luego
ker f = {(0, 0)}
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4) Una aplicación lineal medio elegida al azar
De R3 en R3
f(x, y, z) = (x+y+2z, -x+y+2z, 2y+4z)
La comprobación de lineal pasamos, ya sabemos que toda expresión de ese tipo con x, y, z multiplicados por números y sumados es una funcíon lineal.
EL núcleo de f se calcula resolviendo las tres ecuaciones lineales igualadas a cero
x+y+2z = 0
-x+y+2z = 0
2y + 4z = 0
Podemos ver que la recera es la suma de las dos primeras, luego es perfectamente inútil.
Ahora Cambiando el signo de la segunda y sumando a la primera dará
2x = 0 ==> x = 0
y luego
y = -2z
Luego ker f = {(0, -2z, z) | z de R} es un recta.
Y esto es todo, espero que te sirvan y los hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta. Por si eres nuevo, te recuerdo que yo te contestaré a más preguntas si puntúas con cinco, sino no ya no te contestaré más.