Necesito ayuda con um problema de optimización

Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
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5.843.850 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
Puede ser que me cueste algo porque la pregunta no es tan sencilla y estoy con varias cosas a la vez.
El volumen de un cilindro es
V(r, h)=PI·(r^2)·h donde r es el radio y h la altura
Sabiendo que el volumen va a a ser un litro podemos expresar la altura en función del radio y todo ello en centímetros:
1 litro = 1000 cm^3
1000 = PI(r^2)h
h = 1000 / [PI(r^2)]
El área es la lateral más la de las dos bases:
Area(r,h) = 2·PI·r·h + 2·PI·r^2 = 2·PI·r(r+h)
Sutituimos ahora la h que habíamos calculado arriba y así tendremos el área en función solo del radio
Area(r) = 2·PI·r(r+1000/[PI(r^2)])
Area(r) = 2·PI·r([PI·(r^3)+1000] / [PI(r^2)])
Simplificando PI·r tenemos
Area(r) = 2([PI·(r^3)+1000] / r) o si se prefiere se pone en dos partes, creo que mejor
Area(r) = 2PI(r^2) + 2000/r
Para calcular el área mínima vamos a derivar, igualar a cero y calcular las raíces.
Area'(r) = 4PI·r - 2000/(r^2) = 0
PI·r - 500/(r^2) = 0
PI·r^3 - 500 = 0
r = (500/PI)^(1/3) = (159,15494)^(1/3) = 5,4192607 cm
La derivada segunda es
Area''(r) = 4PI + 2000(2r)/(r^4) = 4PI+ 4000/(r^3)
que es claramente positiva para ese valor de r, luego es un mínimo tal como queríamos.
h = 1000 / [PI(r^2)]
h = 1000 / [PI(5,4192607^2)] = 1000/(PI· 29,368387) = 1000/ 92,263507 = 10,8385521 cm
Luego el cilindro que menos metal utiliza en su construcción para albergar un litro es aquel que tiene:
radio = 5,4192607 cm
altura = 10,8385521 cm
Fíjate que la altura es exactamente el doble que el radio, es decir que la altura es igual que el diámetro. Era ese un resultado que ya conocía yo por haber hecho varias veces problemas como este, pero ahí tienes toda la demostración.
Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Un saludo.
Ahora no puedo contestar y tardaré por lo tanto, pero si aún está en el tablón me reservo el otro problema que has puesto.

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