Anónimo
Demuestre que f(x)=0 no tiene raíces.Podrías ayudarme?
Una función f derivable con
f: R -> R
satisface:
|f(x)| = |f'(x)|, Para todo x que pertenece a los reales,
y al menos para un real Xo se cumple
|f(Xo)| = |f'(Xo)| .
Demuestre que f(x)=0 no tiene raíces.
f: R -> R
satisface:
|f(x)| = |f'(x)|, Para todo x que pertenece a los reales,
y al menos para un real Xo se cumple
|f(Xo)| = |f'(Xo)| .
Demuestre que f(x)=0 no tiene raíces.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
No sé si estará bien el enunciado. Fíjate que la condición del Pero no es nueva ya que al cumplirse para todo por se cumple en particular para Pero y no aporta nada. ¿A lo mejor querías decir otra cosa?
En principio espero que me lo aclares. Aunque sin ahondar en la demostración, una función que cumple eso solo puede ser e^x o e^(-x), que efectivamente no tienen raíces.
¿Me aclaras el enunciado entonces?
En principio espero que me lo aclares. Aunque sin ahondar en la demostración, una función que cumple eso solo puede ser e^x o e^(-x), que efectivamente no tienen raíces.
¿Me aclaras el enunciado entonces?
Una función f derivable con
f: R -> R
satisface:
|f(x)| = |f'(x)|, Para todo x que pertenece a los reales,
y al menos para un real Xo se cumple
|f(Xo)| = |f'(Xo)| .
Demuestre que f(x)=0 no tiene raíces.
f: R -> R
satisface:
|f(x)| = |f'(x)|, Para todo x que pertenece a los reales,
y al menos para un real Xo se cumple
|f(Xo)| = |f'(Xo)| .
Demuestre que f(x)=0 no tiene raíces.
Tienes razón no salieron los símbolos que puse
Reescribo el enunciado:
Una función f derivable con
f: R -> R
satisface:
|f(x)| >= |f'(x)|, Para todo x que pertenece a los reales,
y al menos para un real Xo se cumple
|f(Xo)| > |f'(Xo)| (Es decir al menos para un real la desigualdad es estricta)
Demuestre que f(x)=0 no tiene raíces.
Reescribo el enunciado:
Una función f derivable con
f: R -> R
satisface:
|f(x)| >= |f'(x)|, Para todo x que pertenece a los reales,
y al menos para un real Xo se cumple
|f(Xo)| > |f'(Xo)| (Es decir al menos para un real la desigualdad es estricta)
Demuestre que f(x)=0 no tiene raíces.
Ahora si tiene sentido y lo veo un poco más complicado para contestar rápido. Tengo que ir a hacerme la cena y hasta dentro de unas dos horas no vuelvo al ordenador. Podrías ayudarme entre tanto diciéndome de que curso y estudios es la pregunta. Y el capítulo donde esta de qué trata y que teoremas aparecen. Eso podría ayudarme bastante a lo mejor, no solo a resolverla sino a resolverla con los medios apropiados a los estudios.
Estudio matemáticas, es difícil contextualizar el problema por que no me lo dieron en ningún curso.
En un grupo de la universidad un profesor comparte problemas que nos reunimos para ver las diferentes soluciones. He leído, pero no se como abordarlo.
Se que si una función es derivable cumple:
1. La función es continua.
2. Existe el límite de la función cuando por tiende a un punto a.
3. El límite de la función cuando por tiende a a, toma el valor f(a).
También había pensado que la función debía tener la forma e^(x) o e^(-x). Pero como la derivada de e^(x) es la misma función, no se cumpliría que |f(Pero)| > |f'(Pero)| .
En resumen, si no entiendo los medios de una posible respuesta, sería agradable para mi investigar hasta entender.
En un grupo de la universidad un profesor comparte problemas que nos reunimos para ver las diferentes soluciones. He leído, pero no se como abordarlo.
Se que si una función es derivable cumple:
1. La función es continua.
2. Existe el límite de la función cuando por tiende a un punto a.
3. El límite de la función cuando por tiende a a, toma el valor f(a).
También había pensado que la función debía tener la forma e^(x) o e^(-x). Pero como la derivada de e^(x) es la misma función, no se cumpliría que |f(Pero)| > |f'(Pero)| .
En resumen, si no entiendo los medios de una posible respuesta, sería agradable para mi investigar hasta entender.
Pediremos a los Reyes Magos un editor mejor. A las penalidades de los símbolos se ha unidos ahora el cuelgue del navegador y todo lo que había escrito se ha perdido. Podría tener este editor algo para poder guardar lo que se escribe.
Pues comenzaré de nuevo.
Te decía que no tengo la demostración rigurosa del todo, pero a lo mejor tu puedes dársela basándote en las ideas que te daré.
Por supuesto que usaré sin demostración que derivable implica continua. También voy a llamar g a la función, con las f no veo bien los apóstrofos de las derivadas.
De la condición segunda:
|g(x0)| > |g'(x0)| >= 0 ==> |g(x0)| > 0
Existe un punto x0 tal que g(x0) es mayor o menor que cero estrictamente.
Supongamos que g tiene una raíz en x1, o sea g(x1) = 0
Vamos a centrarnos en estudiar un caso simplificado para no perdernos en detalles, luego mediante reflexiones y/o traslaciones se puede demostrar para cualquier caso.
El caso que estudiaré es que x1=0, luego el corte con el eje POR es el punto (0,0). Además x0 es positivo, esta a la derecha de x1 y no hay otras raíces entre ambos puntos.
Como f(x1)=0 tenemos
|g'(x1)| <= |g(x1)| = 0 ==>
g'(x1) = 0
Nada más que vi esto ya sabía que no tardaría en caer la solución. Que la derivada primera sea cero en el corte significa que es un mínimo o punto de inflexión. En otros casos puede ser máximo, pero en el caso que estoy estudiando, con las condiciones que puse, no puede serlo. Con una reflexión sobre el eje POR ya podría serlo y serviría este estudio.
Cuando una función tiene derivada cero en el punto de corte es que la función se acomoda al eje POR, como el vértice de una parábola, es lo que yo llamaré aterrizar.
Las funciones más sencillas que aterrizan sobre el origen son los polinomios x^n. Vamos a comprobar algo que cumplen:
g(x) = x^n
g'(x) = nx^(n-1)
g(x) / g'(x) = x/n para cualquier x en el intervalo [0,n] esto es menor que 1, luego en todos esos puntos
g(x) / g'(x) < 1 ==> g(x) < g'(x) que en nuestro caso son ambas positivas y por tanto se cumple:
|g(x)| < |g'(x)|
Lo cual contradice el enunciado, luego hemos llegado a un absurdo y no puede haber ese corte co el eje X. En realidad solo lo hemos demostrado para polinomios, pero es como si lo fuera para todo tipo de función.
La función que no quiera incurrir en esta contradicción tendrá que entrar en picado en el origen con un ángulo mayor de 45º, convexas en lugar de cóncavas, tal como lo hacen las del tipo raíz enésima de x, aumentando su derivada conforme se acercan. Pero entonces tendría que haber un cambio brusco porque en el origen la derivada era cero.
Visualmente se ve la imposibilidad de entrar una función de esa forma y tener un instante de horizontalidad sin dejar de ser derivable. Analíticamente se puede usar la fórmula de Taylor para corroborar todas estas ideas.
g(x) = g(0) + g'(0) x + g''(r) (x^2)/2 con r en [0, x]
como g(0) = g'(0) = 0 tenemos
g(x) = g"(r)(x^2)/2 con r en [0, x]
Si derivamos
g'(x) = g''(r) · x con r en [0,x]
g(x) / g'(x) = x/2. Y para cualquier x en [0, 2) se cumple
g(x) / g'(x) < 1 ==>
luego g(x) < g'(x) que como son positivos ==>
|g(x)| < |g'(x)| en [0, 2) y tenemos la contradicción. Luego no puede tener raíces la función.
Y eso es todo. Yo no voy a pulirlo más, con esto me es suficiente. Espero que te sirva y lo hallas entendido. Si no quieres má aclaraciones no olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Pues comenzaré de nuevo.
Te decía que no tengo la demostración rigurosa del todo, pero a lo mejor tu puedes dársela basándote en las ideas que te daré.
Por supuesto que usaré sin demostración que derivable implica continua. También voy a llamar g a la función, con las f no veo bien los apóstrofos de las derivadas.
De la condición segunda:
|g(x0)| > |g'(x0)| >= 0 ==> |g(x0)| > 0
Existe un punto x0 tal que g(x0) es mayor o menor que cero estrictamente.
Supongamos que g tiene una raíz en x1, o sea g(x1) = 0
Vamos a centrarnos en estudiar un caso simplificado para no perdernos en detalles, luego mediante reflexiones y/o traslaciones se puede demostrar para cualquier caso.
El caso que estudiaré es que x1=0, luego el corte con el eje POR es el punto (0,0). Además x0 es positivo, esta a la derecha de x1 y no hay otras raíces entre ambos puntos.
Como f(x1)=0 tenemos
|g'(x1)| <= |g(x1)| = 0 ==>
g'(x1) = 0
Nada más que vi esto ya sabía que no tardaría en caer la solución. Que la derivada primera sea cero en el corte significa que es un mínimo o punto de inflexión. En otros casos puede ser máximo, pero en el caso que estoy estudiando, con las condiciones que puse, no puede serlo. Con una reflexión sobre el eje POR ya podría serlo y serviría este estudio.
Cuando una función tiene derivada cero en el punto de corte es que la función se acomoda al eje POR, como el vértice de una parábola, es lo que yo llamaré aterrizar.
Las funciones más sencillas que aterrizan sobre el origen son los polinomios x^n. Vamos a comprobar algo que cumplen:
g(x) = x^n
g'(x) = nx^(n-1)
g(x) / g'(x) = x/n para cualquier x en el intervalo [0,n] esto es menor que 1, luego en todos esos puntos
g(x) / g'(x) < 1 ==> g(x) < g'(x) que en nuestro caso son ambas positivas y por tanto se cumple:
|g(x)| < |g'(x)|
Lo cual contradice el enunciado, luego hemos llegado a un absurdo y no puede haber ese corte co el eje X. En realidad solo lo hemos demostrado para polinomios, pero es como si lo fuera para todo tipo de función.
La función que no quiera incurrir en esta contradicción tendrá que entrar en picado en el origen con un ángulo mayor de 45º, convexas en lugar de cóncavas, tal como lo hacen las del tipo raíz enésima de x, aumentando su derivada conforme se acercan. Pero entonces tendría que haber un cambio brusco porque en el origen la derivada era cero.
Visualmente se ve la imposibilidad de entrar una función de esa forma y tener un instante de horizontalidad sin dejar de ser derivable. Analíticamente se puede usar la fórmula de Taylor para corroborar todas estas ideas.
g(x) = g(0) + g'(0) x + g''(r) (x^2)/2 con r en [0, x]
como g(0) = g'(0) = 0 tenemos
g(x) = g"(r)(x^2)/2 con r en [0, x]
Si derivamos
g'(x) = g''(r) · x con r en [0,x]
g(x) / g'(x) = x/2. Y para cualquier x en [0, 2) se cumple
g(x) / g'(x) < 1 ==>
luego g(x) < g'(x) que como son positivos ==>
|g(x)| < |g'(x)| en [0, 2) y tenemos la contradicción. Luego no puede tener raíces la función.
Y eso es todo. Yo no voy a pulirlo más, con esto me es suficiente. Espero que te sirva y lo hallas entendido. Si no quieres má aclaraciones no olvides puntuar para cerrar la pregunta.