¿Cómo puedo comprobar si las siguientes funciones matemáticas tienen inversa?
Dadas la sig. Funciones
f1(x) = 2x - 3
f2(x) = x^2 + 2x
f3(x) = x^3
f4(x) = 3^2x
¿Cuál de ellas tiene inversa? Justifique cada respuesta. Graficar las funciones y su inversa en un mismo sistemas de eje
f1(x) = 2x - 3
f2(x) = x^2 + 2x
f3(x) = x^3
f4(x) = 3^2x
¿Cuál de ellas tiene inversa? Justifique cada respuesta. Graficar las funciones y su inversa en un mismo sistemas de eje
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Si, todo viene bien, si viene explicado mejor. Trataré de hacer el gráfico con una calculadora Es que así lo tenia en una prueba. Si se puede mejor o si no una orientación Disculpe las molestias
En general lo que hay que hacer es despejar la por para calcular la inversa. Luego estudiaremos si la función es correcta. Se suele poner "y" en lugar de f(x) para resolver las ecuaciones.
a) f1(x) = 2x - 3
y = 2x - 3
2x = y +3
x = (y+3) / 2
Ahora cambiamos la y por x para expresar la función inversa. Como no se pueden escribir subíndices y superíndices escribiremos la inversa como se pueda.
(f1)-1(x) = (x+3) / 2
Es una función que no presenta ningún problema, esta definida en todo R
Voy a probar que tal queda incrustado aquí el gráfico:
Vale, ya veo que no se aprecia la leyenda con las funciones, la roja es la original, la azul la inversa y la verde la función f(x) = x, respecto de la cual son simétricas una función y si inversa.
¿Te sirve así para el resto de funciones que hay?
a) f1(x) = 2x - 3
y = 2x - 3
2x = y +3
x = (y+3) / 2
Ahora cambiamos la y por x para expresar la función inversa. Como no se pueden escribir subíndices y superíndices escribiremos la inversa como se pueda.
(f1)-1(x) = (x+3) / 2
Es una función que no presenta ningún problema, esta definida en todo R
Voy a probar que tal queda incrustado aquí el gráfico:
Vale, ya veo que no se aprecia la leyenda con las funciones, la roja es la original, la azul la inversa y la verde la función f(x) = x, respecto de la cual son simétricas una función y si inversa.
¿Te sirve así para el resto de funciones que hay?
Lo ampliaré algo, aunque a lo mejor tampoco podrá verse bien.
b)f2(x) = x^2 + 2x
y = x^2 + 2x
x^2 +2x - y = 0
x = (- 2 +- sqrt(4 + 4y))/2 = -1 +- sqrt(1+y)
Poniendo x en lugar de y tenemos
y = -1 +- sqrt(1+x)
Son dos las funciones, puesto que una función solo puede tener un valor en cada punto por definición. Así que hablando estrictamente no habría inversa, pero podemos dividir la función original en dos dominios y habría sendas inversas. Así que vamos a hilar fino:
f21(x) = x^2 + 2x; de [-1, +infinito) en [-1, +infinito)
tendra inversa
(f21)-1(x) = -1 + sqrt(1+y) de [-1, +infinito) en [-1, +infinito)
Vale, ya veo que no va asalir clara la leyenda. Paso. Siempre en rojo la función original y el azul la inversa. He tardado porque el servidor no me dejaba subir la imagen a internet.
Hago la otra función de esta parte y tendré que dejarlo por el momento.
f22(x) = x^2 + 2x; de (-infinito, -1] en [-1, +infinito)
tendra inversa
(f22)-1(x) = -1 - sqrt(1+x) de (-infinito, -1] en (-infinito, -1]
Esta madrugada, dentro de unas cinco horas continuo con las que quedan.
b)f2(x) = x^2 + 2x
y = x^2 + 2x
x^2 +2x - y = 0
x = (- 2 +- sqrt(4 + 4y))/2 = -1 +- sqrt(1+y)
Poniendo x en lugar de y tenemos
y = -1 +- sqrt(1+x)
Son dos las funciones, puesto que una función solo puede tener un valor en cada punto por definición. Así que hablando estrictamente no habría inversa, pero podemos dividir la función original en dos dominios y habría sendas inversas. Así que vamos a hilar fino:
f21(x) = x^2 + 2x; de [-1, +infinito) en [-1, +infinito)
tendra inversa
(f21)-1(x) = -1 + sqrt(1+y) de [-1, +infinito) en [-1, +infinito)
Vale, ya veo que no va asalir clara la leyenda. Paso. Siempre en rojo la función original y el azul la inversa. He tardado porque el servidor no me dejaba subir la imagen a internet.
Hago la otra función de esta parte y tendré que dejarlo por el momento.
f22(x) = x^2 + 2x; de (-infinito, -1] en [-1, +infinito)
tendra inversa
(f22)-1(x) = -1 - sqrt(1+x) de (-infinito, -1] en (-infinito, -1]
Esta madrugada, dentro de unas cinco horas continuo con las que quedan.
Ah cuanto le agradezco tanta paciencia, hasta ahora me ha ayudado un montón esperaré la que falta.
¿Una pregunta el gráfico la saca desde internet? Si así fuese de que página si se puede decir. Mil gracias
¿Una pregunta el gráfico la saca desde internet? Si así fuese de que página si se puede decir. Mil gracias
3) f3(x) = x^3
y = x^3
x = y^(1/3)
(f3)-1(x) = x^(1/3)
La función inversa existe para todos los números reales, para todo número real positivo o negativo, existe otro número real tal que elevado al cubo nos da el primero.
Lo que sucede es que en muchos sitios se define la raíz cúbica solo para números positivos, es por ello que el trazador de gráficos no me dibuja la zona negativa de la raíz cúbica, pero existe y es simétrica a la por al cubo.
4) f4(x) = 3^(2x)
y = 3^(2x)
Este creo que se pasa de complicado. Tomamos logaritmos en base 3
log3(y) = log3(3^(2x)) = 2x
x = log3(y)/2
(f4)-1(x) = log3(x)/2
El logaritmo en base 3 no puede usarse tal cual, no lo tiene ninguna calculadora ni ordenador. Hay que hacer un cambio de base, tomaremos la base e con lo que tendremos logaritmos neperianos. La ecuación del cambio de base es:
log3(x)=log3(e)ln(x)
luego la inversa es:
(f4)-1(x) = log3(e)ln(x) / 2
Lo del log3(e) no hay forma fácil de calcularlo, usaré un miniprograma escrito para la ocasión para hacerlo.
Y el resultado ha sido 0,9102392
(f4)-1(x) = 0,9102392 ln(x) / 2
f4(x) = 3^(2x) está definida en todo R y toma valores en [0, +infinito)
(f4)-1(x) = 0,9102392 ln(x) / 2 es la inversa, está definida en [0, +infinito) y toma valores en (-infinito, +infinito)
Y esto es todo lo del problema, espero que te sirva y lo hallas entendido.
Respecto a los gráficos te digo. Si lo que quieres es bajarte estos que he hecho yo, pinchando el gráfico con el botón derecho te da muchas posibilidades, al menos en mi Firefox: Ver imagen, Copiar Imagen, Copiar la ruta de la imagen, Guardar imagen como..., etc. Esta última te puede servir.
Los gráficos los he hecho yo con Winplot y los he subido a una página con Hosting de internet para que se puedan ver en la respuesta y bajar. La página esa es:
http://www.subirimagenes.com/
Si te registras podrás guardar ahí tus imágenes. Aunque ya te decía esta tarde que iba muy pero que muy lenta para subir.
Y el programa para hacer los gráficos es Winplot. Es el más pequeño que he visto pero sirve. Y por eso de ser tan pequeño no le hace ningún mal a un PC, menos que el pescado blanco.
Lo tienes en:
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Fíjate de elegir al final que está la versión en español.
Pues eso es todo. Si no tienes más dudas no olvides puntuaar para cerrar la pregunta.
y = x^3
x = y^(1/3)
(f3)-1(x) = x^(1/3)
La función inversa existe para todos los números reales, para todo número real positivo o negativo, existe otro número real tal que elevado al cubo nos da el primero.
Lo que sucede es que en muchos sitios se define la raíz cúbica solo para números positivos, es por ello que el trazador de gráficos no me dibuja la zona negativa de la raíz cúbica, pero existe y es simétrica a la por al cubo.
4) f4(x) = 3^(2x)
y = 3^(2x)
Este creo que se pasa de complicado. Tomamos logaritmos en base 3
log3(y) = log3(3^(2x)) = 2x
x = log3(y)/2
(f4)-1(x) = log3(x)/2
El logaritmo en base 3 no puede usarse tal cual, no lo tiene ninguna calculadora ni ordenador. Hay que hacer un cambio de base, tomaremos la base e con lo que tendremos logaritmos neperianos. La ecuación del cambio de base es:
log3(x)=log3(e)ln(x)
luego la inversa es:
(f4)-1(x) = log3(e)ln(x) / 2
Lo del log3(e) no hay forma fácil de calcularlo, usaré un miniprograma escrito para la ocasión para hacerlo.
Y el resultado ha sido 0,9102392
(f4)-1(x) = 0,9102392 ln(x) / 2
f4(x) = 3^(2x) está definida en todo R y toma valores en [0, +infinito)
(f4)-1(x) = 0,9102392 ln(x) / 2 es la inversa, está definida en [0, +infinito) y toma valores en (-infinito, +infinito)
Y esto es todo lo del problema, espero que te sirva y lo hallas entendido.
Respecto a los gráficos te digo. Si lo que quieres es bajarte estos que he hecho yo, pinchando el gráfico con el botón derecho te da muchas posibilidades, al menos en mi Firefox: Ver imagen, Copiar Imagen, Copiar la ruta de la imagen, Guardar imagen como..., etc. Esta última te puede servir.
Los gráficos los he hecho yo con Winplot y los he subido a una página con Hosting de internet para que se puedan ver en la respuesta y bajar. La página esa es:
http://www.subirimagenes.com/
Si te registras podrás guardar ahí tus imágenes. Aunque ya te decía esta tarde que iba muy pero que muy lenta para subir.
Y el programa para hacer los gráficos es Winplot. Es el más pequeño que he visto pero sirve. Y por eso de ser tan pequeño no le hace ningún mal a un PC, menos que el pescado blanco.
Lo tienes en:
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
Fíjate de elegir al final que está la versión en español.
Pues eso es todo. Si no tienes más dudas no olvides puntuaar para cerrar la pregunta.
