¿Ayuda con estos limites?
Lim cuando por tiende a cero de ((1/x)(ln de raíz cuad de ((1+x)/(1-x))
llegue hasta lim cuando x tiende a cero de 1/2 ln(e/(1-x) elevado a 1/x) elevado a 1/2
Debo resolverlo sin derivar solo utilizando propiedades de limites, trigonometría y álgebra
El otro ejercicio es lim cuando x tiende a a de ((x-a)/(1-e elevado a (x-a))elevado a x) siendo a mayor que cero
Solamente el numero neperiano se eleva a (x-a)
De igual manera no debería derivar nada para resolverlo
Estaría muy agradecida si pudieran ayudarme gracias!
llegue hasta lim cuando x tiende a cero de 1/2 ln(e/(1-x) elevado a 1/x) elevado a 1/2
Debo resolverlo sin derivar solo utilizando propiedades de limites, trigonometría y álgebra
El otro ejercicio es lim cuando x tiende a a de ((x-a)/(1-e elevado a (x-a))elevado a x) siendo a mayor que cero
Solamente el numero neperiano se eleva a (x-a)
De igual manera no debería derivar nada para resolverlo
Estaría muy agradecida si pudieran ayudarme gracias!
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Perdón, por las prisas puse que el límite era e, no es así, me faltaba dar el último paso, el limite es 1. Ya me pongo a transcribir la demostración. Es lo peor de todo, escribir aquí sin poder hacerlo como se haría a mano, queda muy poco claro y por eso intentaré economizar algunos pasos.
Por la spropiedades de los logaritmos, sabemos que:
a·log b = log (b^a)
Por otro lado, la raíz cuadrada sqrt(a) = a^(1/2)
De la combinación de ambos tenemos que nuestro límite es:
lim x --> 0 de ln ([(1+x)/(1-x)]^[1/(2x)])
Hagamos la que llaman "división larga" de 1+x entre 1- x con cociente 1, nos quedará que
(1+x)/(1-x) = 1 + 2x/(1-x) con lo que el límite será ahora
lim x-->0 de ln ([1 + 2x/(1-x)]^[1/(2x)])
Sabiendo que lim h-->0 de (1+h)^(1/h) = e, vamos a actuar sobre el exponente para que en parte tenga el inverso de lo mismo que lo que se suma al 1, es decir, que tenga (1-x)/2x. Para ello bastará con multiplicar y dividir el exponente por (1-x), quedando:
lim x-->0 de ln {[1 + 2x/(1-x)]^([(1-x)/(2x)][1/(1-x)])}
Antes decíamos que lim h-->0 (1+h)^(1/h) = e pero podemos sustituir h por una función que tienda a cero
lim f(x) --> 0 de [1+f(x)]^[1/f(x)] = e [1]
Si llamas f(x) = 2x/(1-x) tienes f(x) -->0 cuando x --> 0 y nuestro límite es
lim x-->0 de ln {[1+f(x)]^([1/f(x)][1/(1-x)])}
Otra propiedad de la exponenciación es
a^(bc) = (a^b)^c y eso hace que nos quede:
lim x-->0 de ln {([1+f(x)]^[1/f(x)])^[1/(1-x)])} = y recordando lo que deciamos en [1] ya tomamos el límite y queda
= ln(e^(1/(1-0)) = ln e = 1
--------------------------
El segundo nada de nada, es una expresión que no se le puede meter mano. Si no usamos la regla de l'Hôpital mal podrá hacerse.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. Si tienes alguna duda me la cuentas y si no puntúa para cerrar la pregunta.
Por la spropiedades de los logaritmos, sabemos que:
a·log b = log (b^a)
Por otro lado, la raíz cuadrada sqrt(a) = a^(1/2)
De la combinación de ambos tenemos que nuestro límite es:
lim x --> 0 de ln ([(1+x)/(1-x)]^[1/(2x)])
Hagamos la que llaman "división larga" de 1+x entre 1- x con cociente 1, nos quedará que
(1+x)/(1-x) = 1 + 2x/(1-x) con lo que el límite será ahora
lim x-->0 de ln ([1 + 2x/(1-x)]^[1/(2x)])
Sabiendo que lim h-->0 de (1+h)^(1/h) = e, vamos a actuar sobre el exponente para que en parte tenga el inverso de lo mismo que lo que se suma al 1, es decir, que tenga (1-x)/2x. Para ello bastará con multiplicar y dividir el exponente por (1-x), quedando:
lim x-->0 de ln {[1 + 2x/(1-x)]^([(1-x)/(2x)][1/(1-x)])}
Antes decíamos que lim h-->0 (1+h)^(1/h) = e pero podemos sustituir h por una función que tienda a cero
lim f(x) --> 0 de [1+f(x)]^[1/f(x)] = e [1]
Si llamas f(x) = 2x/(1-x) tienes f(x) -->0 cuando x --> 0 y nuestro límite es
lim x-->0 de ln {[1+f(x)]^([1/f(x)][1/(1-x)])}
Otra propiedad de la exponenciación es
a^(bc) = (a^b)^c y eso hace que nos quede:
lim x-->0 de ln {([1+f(x)]^[1/f(x)])^[1/(1-x)])} = y recordando lo que deciamos en [1] ya tomamos el límite y queda
= ln(e^(1/(1-0)) = ln e = 1
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El segundo nada de nada, es una expresión que no se le puede meter mano. Si no usamos la regla de l'Hôpital mal podrá hacerse.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas entendido. Si tienes alguna duda me la cuentas y si no puntúa para cerrar la pregunta.
