Anónimo
Problemas de probabilidad Urgente
Hola antes de nada pedir disculpas porque soy nueva en la página y no me entero bien y al final tuve que registrarme de nuevo. Me urge resolver estos problemas puesto que tengo el viernes examen, gracias de antemano
1) Por razones de seguridad el 5% de los mensajes pasados por una red son falsos. Un receptor sabe con la llave apropiada si el mensaje es falso o no. De 4000 mensajes enviados, ¿cuál es el numero esperado de mensajes falsos suponiendo que ellos se intercalan aleatoria e independientemente entre los válidos? ¿Cuál es la probabilidad de que el número de mensajes falsos exceda de 15 pero no sea menor que 25? Razonar detalladamente todos los pasos.
2) Se suman 100 números reales cada uno de los cuales se redondea al entero más próximo. Se supone que cada error de redondeo es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre -1/2 1/2 y que las variables son independientes. Calcular la probabilidad de que el error sea menor de 1. ¿Cuántos números se tienen que sumar para que con esa probabilidad el error cometido sea menor que 0.75?
1) Por razones de seguridad el 5% de los mensajes pasados por una red son falsos. Un receptor sabe con la llave apropiada si el mensaje es falso o no. De 4000 mensajes enviados, ¿cuál es el numero esperado de mensajes falsos suponiendo que ellos se intercalan aleatoria e independientemente entre los válidos? ¿Cuál es la probabilidad de que el número de mensajes falsos exceda de 15 pero no sea menor que 25? Razonar detalladamente todos los pasos.
2) Se suman 100 números reales cada uno de los cuales se redondea al entero más próximo. Se supone que cada error de redondeo es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre -1/2 1/2 y que las variables son independientes. Calcular la probabilidad de que el error sea menor de 1. ¿Cuántos números se tienen que sumar para que con esa probabilidad el error cometido sea menor que 0.75?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Me pongo con el problema. Pero tu no tienes que puntuar ni cerrar la pregunta hasta que no la haya contestado. Acuérdate. Si era tuyo el problema de los hombres nacionales que les gustaba un producto vuelve a mandármelo, porque cerraste la pregunta y no te puedo mandar la respuesta. Aunque aún no lo había resuelto y era bastante complicado. ¿De dónde salió ese problema, que estudias?
Recuerda, no cierres ni puntúes ahora.
Recuerda, no cierres ni puntúes ahora.
El número esperado es el 5% de 4000 = 4000 · 5 / 100 = 200 mensajes falsos
Se monta un distribución binomial de 4000 mensajes.
La probabilidad (p) de un mensaje falso es 0,05.
Una distribución binomial puede aproximarse por una distribución normal con:
media = n · p = 4000 · 0,05 = 200
desviación = sqrt (np(1-p) = sqrt(4000 · 0,05 · 0,95) = sqrt(190) =13,784049
Los cálculos que se hacen son un poco particulares al pasar de una variable discreta a una continua. A un valor por de la discreta se le asocia en intervalo [x - 0,5 , x + 0,5] de la nueva variable aleatoria continua.
P(15 < X < 25) = P (15,5 <= X <=24,5)
Para normalizar la distribución a una N(0,1) tenemos que hacer el cambio de variable
Z = (X-media) / desviación = (X - 200) / 13,784049
P(15,5 <= X <= 24,5) = P ((15,5 - 200)/13,784049 <= Z <= (24,5 -200)/13,784049) =
P(-13,385037 <= Z <= -12,732108) = P(Z<= -12,732108) - P(Z <= -13,385037) =
1 - P(Z<= 12,732108) - 1 + P(Z <= 13,385037) =
Esos números no salen en la tablas, se supone que ambos son prácticamente 1 y su resta será cero
= 1 -1 - 1 + 1
Luego la probabilidad de tener entre 15 y 25 mensajes es prácticamente cero.
Ya se intuía que podría ser así al estar los límites de mensajes erróneos tan por debajo del valor esperado que era 200.
Ahora me pondré con el otro problema que no lo veo nada claro.
RECUERDA: No cierres ni puntúes aun la pregunta.
Se monta un distribución binomial de 4000 mensajes.
La probabilidad (p) de un mensaje falso es 0,05.
Una distribución binomial puede aproximarse por una distribución normal con:
media = n · p = 4000 · 0,05 = 200
desviación = sqrt (np(1-p) = sqrt(4000 · 0,05 · 0,95) = sqrt(190) =13,784049
Los cálculos que se hacen son un poco particulares al pasar de una variable discreta a una continua. A un valor por de la discreta se le asocia en intervalo [x - 0,5 , x + 0,5] de la nueva variable aleatoria continua.
P(15 < X < 25) = P (15,5 <= X <=24,5)
Para normalizar la distribución a una N(0,1) tenemos que hacer el cambio de variable
Z = (X-media) / desviación = (X - 200) / 13,784049
P(15,5 <= X <= 24,5) = P ((15,5 - 200)/13,784049 <= Z <= (24,5 -200)/13,784049) =
P(-13,385037 <= Z <= -12,732108) = P(Z<= -12,732108) - P(Z <= -13,385037) =
1 - P(Z<= 12,732108) - 1 + P(Z <= 13,385037) =
Esos números no salen en la tablas, se supone que ambos son prácticamente 1 y su resta será cero
= 1 -1 - 1 + 1
Luego la probabilidad de tener entre 15 y 25 mensajes es prácticamente cero.
Ya se intuía que podría ser así al estar los límites de mensajes erróneos tan por debajo del valor esperado que era 200.
Ahora me pondré con el otro problema que no lo veo nada claro.
RECUERDA: No cierres ni puntúes aun la pregunta.
Se monta una distribución normal cuyo valor es la suma de cien números comprendidos entre -0,5 y 0,5. Eso simulará el error cometido con la suma de 100 números reales cuando se redondean al entero más próximo para sumarlos en vez de usar su valor real.
Pero primero montamos la de un solo sumando
La función de distribución uniforme de la que hablan sería:
F(x) = 0 si x < -1/2
F(x) = x+1/2 si -1/2 <=x <= 1/2
F(x) = 1 si x > 1
y la de densidad
f(x) = 0 si |x| > 1/2
f(x) = 1 si |x| <= 1/2
$(a,b)f(x)dx será la notación que use para integral entre a y b de f(x) diferencial de x.
Según la teoría, la media y varianza para las variables aleatorias continuas se calcula de esta forma:
media = $(-1/2, 1/2)x·f(x) dx = $(-1/2, 1/2)x dx = x^2/2 entre -1/2 y 1/2 = 1/8 -1/8 = 0
varianza = $(-1/2, 1/2)(x-media)^2·f(x) dx = $(-1/2, 1/2)x^2·f(x) dx =
= (x^3)/3 entre -1/2 y 1/2 = 1/24 -(-1/24) = 1/12
Desviación = sqrt(1/12) = 0,2886751
Ahora montamos la de cien sumandos donde la variable aleatoria POR es la suma de las simples.
También según la teoría tenemos:
La media será n veces la medía. Como era cero, sigue siendo cero.
La desviación será la desviación antigua multiplicada por raíz de 100
desviación = 0,2886751 * 10= 2,886751
Y ya tenemos los parámetros de la distribución normal que simula el error cometido al reemplazar los números reales por sus enteros más próximos, es un a N(0, 2,886751)
Hacemos el cambio Z = X/2,886751 para normalizar la distribución y poder consultar sus valores en las tablas
P(-1 < X < 1) = P (-1 / 2,886751 < Z < 1 / 2,886751) =
P (-0,34641032 < Z < 0,34641032) = P(0,34641032) - P(-0,34641032) =
P(0,34641032) -1 + P(0,34641032) = 2·P(0,34641032) -1 =
Para mejorar la precisión tomaremos de la tabla 0,34 y 0,35 en lugar de 2 veces 0,35
= 0,6331 + 0,6368 - 1 = 0,2699
Luego la probabilidad de que el error sea menor que 1 es 0,2699.
Dependiendo de la cantidad de números tomados varia la desviación. Debemos calcular el n que haga que 0,75 / (0,2886751 · sqrt(n)) = 0,34641032 con lo cual llegaríamos al mismo final que aquí y a la misma probabilidad pero para un error menor que 0,75
0,75 / (0,2886751 · sqrt(n)) = 0,34641032
0,75 / 0,34641032 = 0,2886751 · sqrt(n)
sqrt(n) = (0,75 / 0,34641032) / 0,2886751 = 7,4999979
n = 7,4999979^2 = 56,249969
Como el error es creciente en función de n hay que tomar el número inferior apara asegurar que no nos pasamos de error. Luego
Hay que tomar 56 números para garantizar que la probabilidad de error menor que 0,75 sea 0,2699.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas comprendido. Ahora si debes ya puntuar o pedir aclaraciones.
Pero primero montamos la de un solo sumando
La función de distribución uniforme de la que hablan sería:
F(x) = 0 si x < -1/2
F(x) = x+1/2 si -1/2 <=x <= 1/2
F(x) = 1 si x > 1
y la de densidad
f(x) = 0 si |x| > 1/2
f(x) = 1 si |x| <= 1/2
$(a,b)f(x)dx será la notación que use para integral entre a y b de f(x) diferencial de x.
Según la teoría, la media y varianza para las variables aleatorias continuas se calcula de esta forma:
media = $(-1/2, 1/2)x·f(x) dx = $(-1/2, 1/2)x dx = x^2/2 entre -1/2 y 1/2 = 1/8 -1/8 = 0
varianza = $(-1/2, 1/2)(x-media)^2·f(x) dx = $(-1/2, 1/2)x^2·f(x) dx =
= (x^3)/3 entre -1/2 y 1/2 = 1/24 -(-1/24) = 1/12
Desviación = sqrt(1/12) = 0,2886751
Ahora montamos la de cien sumandos donde la variable aleatoria POR es la suma de las simples.
También según la teoría tenemos:
La media será n veces la medía. Como era cero, sigue siendo cero.
La desviación será la desviación antigua multiplicada por raíz de 100
desviación = 0,2886751 * 10= 2,886751
Y ya tenemos los parámetros de la distribución normal que simula el error cometido al reemplazar los números reales por sus enteros más próximos, es un a N(0, 2,886751)
Hacemos el cambio Z = X/2,886751 para normalizar la distribución y poder consultar sus valores en las tablas
P(-1 < X < 1) = P (-1 / 2,886751 < Z < 1 / 2,886751) =
P (-0,34641032 < Z < 0,34641032) = P(0,34641032) - P(-0,34641032) =
P(0,34641032) -1 + P(0,34641032) = 2·P(0,34641032) -1 =
Para mejorar la precisión tomaremos de la tabla 0,34 y 0,35 en lugar de 2 veces 0,35
= 0,6331 + 0,6368 - 1 = 0,2699
Luego la probabilidad de que el error sea menor que 1 es 0,2699.
Dependiendo de la cantidad de números tomados varia la desviación. Debemos calcular el n que haga que 0,75 / (0,2886751 · sqrt(n)) = 0,34641032 con lo cual llegaríamos al mismo final que aquí y a la misma probabilidad pero para un error menor que 0,75
0,75 / (0,2886751 · sqrt(n)) = 0,34641032
0,75 / 0,34641032 = 0,2886751 · sqrt(n)
sqrt(n) = (0,75 / 0,34641032) / 0,2886751 = 7,4999979
n = 7,4999979^2 = 56,249969
Como el error es creciente en función de n hay que tomar el número inferior apara asegurar que no nos pasamos de error. Luego
Hay que tomar 56 números para garantizar que la probabilidad de error menor que 0,75 sea 0,2699.
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hallas comprendido. Ahora si debes ya puntuar o pedir aclaraciones.