Limite de una indeterminación tipo 0/0
Hola estoy intentando calcular el limite cuando x->0 de f(x) y creo que por l´hospital no se puede hacer ¿Verdad?.
Te pongo la función y a ver si me pudieses ayudar explicándome el proceso.
lim x->0 cos(x) - cos(2x) / 1-cos(x).
Supongo q es por infinitesimos, pero en el numerador no se como aplicarlo. A ver si me pudieses ayudar. Muchas gracias desde ya. Saludos.
Te pongo la función y a ver si me pudieses ayudar explicándome el proceso.
lim x->0 cos(x) - cos(2x) / 1-cos(x).
Supongo q es por infinitesimos, pero en el numerador no se como aplicarlo. A ver si me pudieses ayudar. Muchas gracias desde ya. Saludos.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Supongo que querías poner:
Lim x -> 0 de (cosx - cos(2x)) / (1 - cosx)
Si, se puede aplicar l'hospital pues numerador y denominador son continuas, derivables en un entorno de x=0 y distintas de cero en ese entorno salvo en x=0
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
También ahí dice que se puede aplicar varias veces consecutivas.
Derivemos numerador y denominador dos veces:
(cosx - cos(2x))'' = (-senx + 2sen(2x))' = -cosx + 4cos(2x)
(1 - cosx)'' = (senx)' = cosx
Ahora si puede calcularse fácilmente el límite:
lim x -> 0 (-cosx + 4cos(2x)) / cosx = (-1 +4)/1 = 3
También podría haberse hecho desarrollando cos(2x)
(cosx - (cosx)^2 + (senx)^2) /(1-cosx)=
(cosx(1-cosx) + (senx)^2) / (1-cosx) = cosx + (senx)^2 / (1-cosx)=
Ahora poniendo (senx)^2 como 1- (cosx)^2
cosx + (1-(cosx)^2)/(1-cosx) =
cosx + (1+cosx)(1-cosx)/(1-cosx) = cosx + 1 + cosx = 3 cuando x->0
Luego puedes ver que de ambas formas el límite es 3
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerra la pregunta.
Lim x -> 0 de (cosx - cos(2x)) / (1 - cosx)
Si, se puede aplicar l'hospital pues numerador y denominador son continuas, derivables en un entorno de x=0 y distintas de cero en ese entorno salvo en x=0
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pital
También ahí dice que se puede aplicar varias veces consecutivas.
Derivemos numerador y denominador dos veces:
(cosx - cos(2x))'' = (-senx + 2sen(2x))' = -cosx + 4cos(2x)
(1 - cosx)'' = (senx)' = cosx
Ahora si puede calcularse fácilmente el límite:
lim x -> 0 (-cosx + 4cos(2x)) / cosx = (-1 +4)/1 = 3
También podría haberse hecho desarrollando cos(2x)
(cosx - (cosx)^2 + (senx)^2) /(1-cosx)=
(cosx(1-cosx) + (senx)^2) / (1-cosx) = cosx + (senx)^2 / (1-cosx)=
Ahora poniendo (senx)^2 como 1- (cosx)^2
cosx + (1-(cosx)^2)/(1-cosx) =
cosx + (1+cosx)(1-cosx)/(1-cosx) = cosx + 1 + cosx = 3 cuando x->0
Luego puedes ver que de ambas formas el límite es 3
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerra la pregunta.
Hola buenos días! Muchas gracias por la respuesta, por l´hôpìtal si lo he entendido perfectamente pero... ¿de dónde sacas esto?:
(cosx - (cosx)^2 + (senx)^2) /(1-cosx). me he quedao lela....... gracias!!
(cosx - (cosx)^2 + (senx)^2) /(1-cosx). me he quedao lela....... gracias!!
¿No has dado aun las fórmulas trigonométricas de la suma de ángulos? Suponía que si calculabas límites por l'hôpital ya las tendrías que haber dado. Mira a ver que seguro las conoces:
sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb
cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb
Entonces de esta segunda, si lo aplicamos al angulo x+x tendremos;
cos(2x) = cos(x+x) = cosx·cosx - senx·senx = (cosx)^2 - (senx)^2
Y ese es exactamente el cambio que había hecho en el límite para poder calcularlo.
Y eso es todo, es una fórmula que junto a otras usarás mucho si continúas con estudios de matemáticas, ingeniería, etc. Espero que lo hallas entendido y si ya lo tienes claro puntúa para cerrar la pregunta.
sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb
cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb
Entonces de esta segunda, si lo aplicamos al angulo x+x tendremos;
cos(2x) = cos(x+x) = cosx·cosx - senx·senx = (cosx)^2 - (senx)^2
Y ese es exactamente el cambio que había hecho en el límite para poder calcularlo.
Y eso es todo, es una fórmula que junto a otras usarás mucho si continúas con estudios de matemáticas, ingeniería, etc. Espero que lo hallas entendido y si ya lo tienes claro puntúa para cerrar la pregunta.
