Ayuda con ejercicio de matemáticas al obtener los valores máximos y mínimos absolutos de una función

Es el problema de máximos y mínimos ligados (o condicionados) de una función con varias variables. Supongo que sabrás o tendrás la teoría a mano.
Allí te contará que hay que usar el método de los multiplicadores de Lagrange, que en esencia dice que para minimizar o maximizar f (x, y) sujeta a la condición g(x, y) = 0, hay que minimizar o maximizar la función L(¿x, y,? ) = f (x,y) -? ·g(x,y). ¿Siendo? Un número que hay que calcular con el sistema formado por las derivadas parciales igualadas a cero y la ecuación g(xy) = 0
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/SUPERIOR/Curso/LIBRO/CAP6-Maximos-Minimos.pdf
En la página 17.
Vayamos ya, que es mucho más sencillo cuando se ve que en la exposición dada hasta ahora.
La función a minimizar será:
L (x,y,?) = x^2 + 3y^2 - ?(x^2 - 2x + y^2 - 3) =0
Derivamos respecto a x, y. Y añadimos la ecuación de las condiciones
2x - ?(2x -2) = 0                  [1]
6y - 2?y =0                          [2]
x^2-2x +y^2 -3 =0             [3]
De la [2] tenemos 2?y = 6y  ==>  
? = 6y/(2y) = 3
Ahora en la [1] 
2x - 3(2x - 2) = 0  ==> 2x -6x + 6 = 0  ==>
x = 6/4 = 3/2
Y finalmente en la [3]
9/4 - 3 + y^2 - 3 = 0  ==>
y = +-sqrt(6-9/4) = +-sqrt(15)/2
Los puntos críticos son: (3/2, sqrt(15)/2) y (3/2, -sqrt(15/2))
Por la definición f(x, y) es simétrica en x e y. También g(x, y) es simétrica en y. Luego lo mismo que suceda en un punto sucederá en el otro.
Para saber si es máximo o mínimo pongamos f(x, y) en función solo de x. Para ello despejamos y^2 en g(x, y)
y^2=3+2x-x^2
Y lo sustituimos en f(x, y) que ya solo dependerá de x y todo el problema de extremos con dos variables y condicionados se reduce un problema de extremos en una variable
f(x) = x^2+3(3+2x-x^2) = -2x^2+6x+9
f'(x)= -4x + 6 =0  ==> x =3/2
f''(x)= -4
Luego f(x) tiene un máximo en x =3/2 que significa que f(x, y) condicionada por g(x, y) tiene sendos máximos en (3/2, sqrt(15)/2) y (3/2, -sqrt(15/2))