La funcion F(x,y,z) define implicitamente...

Anonimous 92!
Primero comprobamos que la función implícita se verifica en el punto (1,-1,2)
F(x,y,z)=yz^3-xzy^2+x^3+z^3+1=0
F(1,-1,2) = -1·8 -1·2·1 +1 +8 +1 = 0
que las derivadas parciales son continuas
dF/dx= -zy^2 + 3x^2
dF/dy= z^3 - 2xz
dF/dz = 3yz^2 - xy^2 + 3z^2
y que en el punto en cuestión la derivada parcial respecto z es distinta de cero
dF(1,-1,2)/dz = -3·1·4 -1·1 + 3·4 = -1
Eso nos garantiza por el teorema de la función implícita que en un entorno del punto (1,-1,2) existe una única función f(x, y) tal que F(x, y, f(x, y)) = 0 en ese entorno.
Derivemos la función implícita respecto a x teniendo en cuenta que a su vez z será función de x y por lo tanto habrá que usar la regla de la cadena.
3y(z^2)dz/dx - zy^2 - (y^2)dz/dx + 3x^2 + 3(z^2)dz/dx = 0
(3yz^2 - y^2 + 3z^2)dz/dx = zy^2 - 3x^2
dz/dx = (zy^2 - 3x^2) / (3yz^2 - y^2 + 3z^2)
.
(d^2)z/dx^2 = ((y^2)dz/dx - 6x)(3yz^2 - y^2 + 3z^2) +
                         + (zy^2 - 3x^2)(6yz·dz/dx + 6z·dz/dx)
En esta expresión sustituimos el dz/dx calculado arriba si queremos tenerla solo en función de x, y, z.
No calculo el valor de las derivadas en el punto (1,-1) porque hay que calcular z en ese punto y eso consiste en resolver una ecuación de grado 3 que se sale de lo humanamente admisible.