Ayuda con función cuadrática

Respuesta de
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Usuario
Alguien puede explicarme como se hace esto, ¡No lo entiendo!
Datos: Xv= 2; Yv= -2; una de las raíces es -1
a) hallar las expresiones factorizada, canónica y polinómica de la función cuadrática f:R --> R
b) Determinar el conjunto imagen de la función.
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Experto
¡Hola poulettett!
Ahora intento resolver tus dudas
Un saludo!
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Experto
a)
Una función cuadrática es un polinomio de grado 2 y su figura geométrica es una parábola.
Con Xv e Yv se refieren sin duda al vértice de la parábola, que es el máximo o mínimo de la función.
La expresión factorizada es de esta forma:
f(x) = A(x-r)(x-s) donde A, r, s en R siendo r y s son los puntos de corte en X con el eje Y=0
La polinómica es:
f(x) = Ax^2 + Bx + C   con A, B, C en R
La canónica no lo sé de momento, pero lo miraré en wikipedia:
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica
f(x) = a(x-h)^2 + k
Donde (h, k) es el vértice de la parábola y en la wikipedia te dice como se calcula en caso de no conocerlo.
Bueno, pues ya sabemos lo que nos preguntan, vamos con el problema:
Nos dan las coordenadas del vértice que es (2, -2). Eso supone darnos bastantes datos de la forma canónica, luego empezaremos por ella.
Forma canónica:
f(x) = a(x-h)^2 + k con (h,k) el vértice. Y el vértice es (2, -2) luego
f(x) =a(x-2)^2 - 2
Para poder calcular ese coeficiente "a" nos dan otro dato que es que una de las raíces es -1. Eso significa que f(-1) = 0, es decir:
a(-1-2)^2 - 2 = 0  ==> a(-3)^2 - 2 = 0  ==> 9a - 2 = 0 ==> a =2/9
Luego la expresión canónica es:
f(x) = (2/9)(x-2)^2 - 2
A partir la la forma canónica no cuesta nada encontrar la forma polinómica, basta operar en ella.
f(x) = (2/9) (x^2 - 4x + 4) - 2 = (2/9)x^2 + (-8/9)x + 8/9 - 2
Luego la expresión polinómica es:

f(x) = (2/9)x^2 - (8/9)x - 10/9
Para obtener la expresión factorizada debemos calcular la otra raíz. Hay varias formas:
a) Calcular las soluciones de la ecuación (2/9)x^2 - (8/9)x - 10/9 =0
Mal, porque si ya conocemos una de ellas, haríamos trabajo en balde.
b) Dividir el polinomio por (x+1) ya que -1 es una raíz y (x -(-1)) es un monomio que divide a ese polinomio.
Esta división puede hacerse por un algoritmo similar al de una división de números o por Ruffini. Te lo dejo como ejercicio si quieres hacerlo.
c) Pensar un poco. La recta vertical pasando por el vértice es eje de simetría de la parábola, luego las raíces equidistan de el. Si el vértice es (2, -2) y una raíz es (-1, 0) tenemos que la distancia en el eje X del vértice a la rectga de simetría es 2-(-1) = 3. Pues ahora tomamos el punto situado a distancia 3 en el eje X al otro lado que no es otro que el (2+3,0) = (5,0) y por lo tanto 5 es la otra raíz.
La expresión factorizada será:
f(x)=A(x+1)(x-5)
El coeficiente A es el mismo que el de la expresión polinómica, que era (2/9)
Luego la expresión factorizada es:
f(x) =(2/9)(x+1)(x-5)
No obstante, si no tienes claro que este coeficiente A sea el mismo que el de la polinómica, o si no habías calculado antes esa expresión polinómica para "copiarlo y pegarlo" se puede calcular A de esta forma:
Como la función pasa por el vértice (2,-2) debe suceder
f(2)=-2  <==> A(x+1)(x-5) = -2   <==>  A(2+1)(2-5)=-2  <==>  A(3)(-3)=-2
<==>  -9A = -2  <==> A = 2/9
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b) Determinar el conjunto imagen de la función.
Lo más sencillo es verlo con la forma canónica:
f(x)= (2/9)(x-2)^2 - 2
El primer término es un cuadrado y por tanto tendrá siempre valor positivo. Para x=2 es cuando tendrá su menor valor que es cero. Entonces será
f(2) = 0 - 2 = -2
Y ese será su menor valor ya que en cualquier otro el primer sumando será positivo.
Por otra parte si tomamos un x muy grande en valor absoluto (tanto positivo como negativo, la función también toma un valor muy grande, tiende a infinito.
Luego el conjunto imagen es el intervalo [-2, infinito)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas comprendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Un saludo.
Pues anda que no llevo intentos de mandarlo pero me da error del servidor. Espero que en una de estas pueda enviarse...
Usuario
Muchísimas gracias! Me ayudaste mucho! ^^