¿Cómo puedo resolver estos problemas matemáticos de funciones y números enteros?

Vale, no lo dices pero por los ejercicios creo que te refieres a la función parte entera. Como antes pensaba que podría ser el valor absoluto era cuando algunos ejercicios no me cuadraban.
Llamemos "n" a la parte entera de "x",n=[x] y "f" a la fraccionaria, f=x-[x]=x-n
f puede tomar cualquier valor en [0,1)
Por definición la parte entera de "x" es el mayor número entero menor o igual que "x". Eso significa que "n" siempre sera menor o igual que "x" y por tanto "f" sera siempre positivo aun cuando "x" sea negativo.
Aunque sea obvio, si n es un número entero ==> [n] = n.
Y si n es entero  ==> [n + x] = n + [x]
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1) [x] +[x+1/2] = [2x]
Consideremos dos casos según el valor de f sea menor que 1/2 o mayor o igual.
a) Si f < 1/2  ==> f + 1/2 < 1
Luego f+1/2 sumado al número entero "n" no nos hará llegar a n+1
[x]+[x+1/2] = n+ [n+f+1/2] = n + n = 2n = 2[x]
b) Si 1/2 <= f < 1   ==> estas dos cosas
   1 <= f + 1/2 < 3/2
   1 <= 2f < 2
luego
[x] + [x+1/2] = n + [n+f+1/2] = n + (n+1) = 2n +1
[2x] = [2(n+f))] = [2n+2f] = 2n + 1
luego [x] + [x+1/2] = [2x]
Y queda demostrada la primera igualdad.
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2) [x+y] >= [x] + [y]
sea n=[x], m=[y], f=x-[x], g=y-[y]
[x+y] = [n+m+f+g]>= [n+m] = n+m = [x]+[y]
Si la suma de las dos partes fraccionarias es mayor o igual a 1 la desigualdad sera estricta.
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3)[2x] + [2y] >=  [x] + [y] + [x + y]
sea n=[x], m=[y], f=x-[x], g=y-[y]
Calculamos por separado los dos miembros
[2x]+[2y] = [2(n+f)]+[2(m+g)] = [2n + 2f] + [2m +2g] = 2n + 2m + [2f] + [2g]
[x]+[y]+[x+y] = [n+f]+[m+g]+[n+f+m+g]=n+m+n+m+[f+g] = 2n + 2m + [f+g]
simplificando términos iguales quedaria [2f]+[2g] a la izquierda y [f+g] a la derecha, luego es cuestión de demostrar que [2f]+[2g]>= [f+g]
y eso es muy sencillo de demostrar comprobando todos los casos:
Si "f" y "g" < 1/2                     tenemos 0>=0
Si "f" o "g" > 1/2 y f+g <1      tenemos 1>=0
si "f" o "g" >= 1/2 y f+g >=1  tenemos 1>=1  ó 2>=1
si 1 > "f" y "g" >= 1/2            tenemos 2>=1
luego [2f]+[2g]>=[f+g] y por tanto [2x] + [2y] >=  [x] + [y] + [x + y]
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4) Pruebe que si "x" e "y" son reales positivos, entonces [x + y] mayor igual [x] + [y].
En el ejercicio 2 se demostraba esto para todo por, y luego quedaba demosttrado para los por, y positivos en particular.
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5)   Para todo real x, demuestre que [[x]/n] = [x/n] donde n es un entero positivo.
Sea m la parte entera de x en este caso y g la fraccionaria
[[x]/n] = [m/n]
[x/n] = [(m+g)/n]
Haciendo la división entera de m/n, llamando "q" al cociente y "r" al resto tendremos:
[m/n] = [q+(r/n)]
y por ser r < n será (r/n) < 1 y tendremos:
[m/n] = q
Luego [[x]/n] = q
Aplicada esa división a [(m+g)/n] tendremos
[(m+g)/n)] = [q+((r+g)/n)]
pero como 0 <= g < 1 tendremos r+g < n con lo que (r+g)/n < 1 y por tanto
[q+((r+g)/n] = q
luego  [x/n] = q
y por lo tanto, igualando esto con lo de seis lineas arriba:
[[x]/n] = [x/n] y se acabó demostrando, uff!
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6) Pruebe que si a y b son enteros positivos, existe el menor entero positivo de la forma a - bk, para que pertenece a los enteros.
Bastante obvio pero lo demostraremos.
La función y = a - bk será una recta decreciente, siempre decreciente. No es paralela al eje OX porque "b" distinto de cero. Entonces en k = a/b cortará al eje X.
Si a/b es entero entonces y = a-ba/b = 0 no es positivo. Tomaremos k = (a/b) - 1
y = a - b((a/b)-1) = a-ba/b +b = b
y = b será el menor entero positivo de la forma y = a - bk
Si a/b no es entero tomaremos que = [a/b]
Y = a - b[a/b] será el menor entero positivo de esa forma.
Y esto es todo. Espero que lo comprendas y te haya servido. No olvides puntuar y cerrar esta extensa pregunta.
Un saludo.
<div id="_mcePaste" style="position: absolute; left: -10000px; top: 1050px; width: 1px; height: 1px; overflow: hidden;">4)  Pruebe que si x y y son reales positivos, entonces [x + y] mayor igual  [x] + [y].</div>