Anónimo
Diferenciacion de funcion implicita
Hola quería saber si me podrías resolver este problema u orientarme sobre como resolverlo
La escuacion F(x,y,z) = z^3 + z - x^2 - y^3 + 4 = 0, define a z como uns funcion implicita de x y de y en un entorno del punto (x,y,z) = (1,1,-1). Calcular:
a) dz/dx (1,1)
b) (d^2)z/dx^2 (1,1)
La escuacion F(x,y,z) = z^3 + z - x^2 - y^3 + 4 = 0, define a z como uns funcion implicita de x y de y en un entorno del punto (x,y,z) = (1,1,-1). Calcular:
a) dz/dx (1,1)
b) (d^2)z/dx^2 (1,1)
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Primero comprobamos que la función implícita se verifica en el punto (1,1,-1)
F(1,1,-1) = -1 -1 -1 -1 +4 = 0
que las derivadas parciales son continuas
dF/dx= 2x
dF/dy= -3y^2
dF/dz = 3z^2+1
y que en el punto en cuestión la derivada parcial respecto z es distinta de cero
dF(1,1,-1)/dz = 3+1=4
Eso nos garantiza por el teorema de la función implícita que en un entorno del punto (1,1,-1) existe una única función f(x, y) tal que F(x, y, f(x, y)) = 0 en ese entorno.
Derivemos la función implícita respecto a x teniendo en cuenta que a su vez z será función de x y por lo tanto habrá que usar la regla de la cadena.
3(z^2)dz/dx +1 - 2x = 0
dz/dx = (2x-1)/3(z^2)
(d^2)z/dx^2 = [2·3(z^2)-(2x-1)6z·dz/dx] / 9(z^4) =
[6z^2 -6z(2x-1)(2x-1)/3(z^2)] / 9(z^4) =
(d^2)z/dx^2 = [6z^2 - 6z((2x-1)^2)/3(z^2)] / 9(z^4)
No calculo el valor de las derivadas en el punto (1,1) porque hay que calcular z en ese punto y eso consiste en resolver una ecuación de grado 3 que se sale de lo humanamente admisible.
Y eso es todo, espero que te sirva de algo. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
F(1,1,-1) = -1 -1 -1 -1 +4 = 0
que las derivadas parciales son continuas
dF/dx= 2x
dF/dy= -3y^2
dF/dz = 3z^2+1
y que en el punto en cuestión la derivada parcial respecto z es distinta de cero
dF(1,1,-1)/dz = 3+1=4
Eso nos garantiza por el teorema de la función implícita que en un entorno del punto (1,1,-1) existe una única función f(x, y) tal que F(x, y, f(x, y)) = 0 en ese entorno.
Derivemos la función implícita respecto a x teniendo en cuenta que a su vez z será función de x y por lo tanto habrá que usar la regla de la cadena.
3(z^2)dz/dx +1 - 2x = 0
dz/dx = (2x-1)/3(z^2)
(d^2)z/dx^2 = [2·3(z^2)-(2x-1)6z·dz/dx] / 9(z^4) =
[6z^2 -6z(2x-1)(2x-1)/3(z^2)] / 9(z^4) =
(d^2)z/dx^2 = [6z^2 - 6z((2x-1)^2)/3(z^2)] / 9(z^4)
No calculo el valor de las derivadas en el punto (1,1) porque hay que calcular z en ese punto y eso consiste en resolver una ecuación de grado 3 que se sale de lo humanamente admisible.
Y eso es todo, espero que te sirva de algo. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.