¿Ecuación de la parábola?

Saludos. Necesito que me expliques cómo resolver este ejercicio.
 Escribe la ecuación de la parábola de foco F(2,1) y directriz y + 3 = 0
Gracias!
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Respuesta de
¡Hola de nuevo!
Como ya te decía en la pregunta anterior. Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz. Esos son los datos que nos dan y sin más que igualar las distancias tendremos la ecuación.
Sea (x, y) un punto perteneciente a la parábola, su distancia al foco (2,1) es:
D((x,y), (2,1)) = sqrt((x-2)^2+(y-1)^2)  recuerdo que sqrt significa raiz cuadrada.
La distancia de ese punto (x, y) a la recta se deduce fácilmente. La recta y + 3 = 0 es, dicho de otra forma, la recta y = 3, es decir una recta paralela al eje OX (horizontal) y situada 3 unidades por encima de esta. La distancia del punto a esta recta será el tramo en perpendicular del punto a la recta, y dado que la recta es horizontal, dependerá unicamente de la altura, es decir de la componente "y" del punto.
D((x,y), recta y+3=0) = |y-3|  siempre positiva.
Igualando las dos distancias tenemos:
sqrt((x-2)^2+(y-1)^2) = |y-3|
elevando ambos lados al cuadrado
(x-2)^2 + (y-1)^2 = |y-3|^2
x^2 + 4 - 4x + y^2 +1 - 2y = y^2 + 9 - 6y
x^2 - 4x + 4y - 4 = 0
Y esa es la ecuación y eso es todo. Espero que lo hallas entendido y no olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Un saludo.
Y ¿Cómo sería la ecuación reducida?
¿No entiendo cuál es la pregunta?
La ecuación para la parábola que me has dicho, la que tiene foco en (2,1) y cuya recta directriz es y-3=0 es esta:
x^2 - 4x + 4y - 4 = 0
Y no admite mayor simpificación porque ya está simplificada al máximo y creo que el ejercicio estaba resuelto completamente ya.
Si hablamos de otro problema distinto, puedo decirte que la ecuación más simplificada posible para una parábola sería de una de estas dos formas:
x^2=2py 
y^2=2py
pero solo se da en una condiciones muy favorables que son estas:
La primera es la de la parábola con foco (0,p/2) y recta directriz y+p/2=0
La segunda es la de la parábola con foco en (p/2,0) y recta directriz x+p/2=0
En tu caso el foco estaba en (2,1) que es un punto cualquiera y no puede quedar tan simplificada como esas.
Espero haber resuelto tus dudas. No olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Un saludo.
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