Hallar la constante que en sistemas de ecuaciones
Tengo duda acerca de como hallar las constante que satisface el sistema, ¿se puede con determinantes?
Ejemplo:
a+Kb= 0
ax+b = 0
det(1-K^2)
*Si sudeterminante es igual a cero es decir si K = +-1 el sistema es sistema compatible indeterminado ó sistema incompatible.
*Si su determinante es diferente de cero es sistema compatible determinado.
Esta bien eso esta mal ,¿Como ser más especifico?
Como se resolveria el siguiente:
Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para que valores de QUE el sistema tiene solución única:
Kx + y + z = 1
x + Ky + z = 1
x + y + Kz = 1
Ejemplo:
a+Kb= 0
ax+b = 0
det(1-K^2)
*Si sudeterminante es igual a cero es decir si K = +-1 el sistema es sistema compatible indeterminado ó sistema incompatible.
*Si su determinante es diferente de cero es sistema compatible determinado.
Esta bien eso esta mal ,¿Como ser más especifico?
Como se resolveria el siguiente:
Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para que valores de QUE el sistema tiene solución única:
Kx + y + z = 1
x + Ky + z = 1
x + y + Kz = 1
1 respuesta
Respuesta de canalrev
1
El sistema es compatible determinado si el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas del sistema e igual al rango de la matriz ampliada. Si el sistema da una matriz cuadrada, es suficiente con que el rango de la matriz de coeficientes sea máximo, osea que su determinante sea distinto de 0.
Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible, si es menor que el número de incógnitas sera indeterminado. El rango de la matriz ampliada es igual mayor rango de las matrices cuadradas que cuedes formar con sus filas y columnas.
Si el rango de la matriz ampliada no coincide con la de coeficientes entonces el sistema es incompatible
Ejemplo:
a+Kb= 0
ax+b = 0
det(1-K^2)
*Si sudeterminante es igual a cero es decir si K = +-1 Por lo que su rango es 1, ahora tendríamos a ver el rango de la matriz de coeficientes, pero en este caso al añadir una columna de todos 0 no aumentará el rango, aun así lo realizo.
considero las dos matrices de orden 2 que puedo formar para k=+1
1 0 1 0
1 0 y 1 0 en ambos casos el rango es 1, por lo que para k=1 el rango de la ampliada es 1, que coincide con el de la matriz de coeficientes, por lo que compatible indeterminado
k=+1
1 0 -1 0
-1 0 y 1 0 en ambos casos el rango es 1, por lo que para k=-1 el rango de la ampliada es 1, que coincide con el de la matriz de coeficientes, por lo que compatible indeterminado
Vamos con el otro ejemplo
Kx + y + z = 1
x + Ky + z = 1
x + y + Kz = 1
la matriz de coeficientes es
k 1 1
1 k 1
1 1 k
su determinante es k^3-3k+2
lo igualamos a 0
k^3-3k+2=0 --> k=1 y k=-2 en estos valores el rango no es 3
en el caso k=-2 el rango es 2 ya que si tomamos el menor de orden 2 que formam las dos primeras filas y las dos primeras columnas tenemos
-2 1
1 -2 su derterminante es -5 distinto de 0, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es 2
tomamos la matriz ampliada
-2 1 1 1
1 -2 1 1
1 1 -2 1
si tomamos la matriz 3x3 formada por las tres ultimas columnas
1 1 1
-2 1 1
1 -2 1
Su determinante es 9 distinto de 0 por lo que su rango es 3, como el rango de la amplidad es mayor que el rango de la de coeficientes es incompatible
En el caso k=1 el rango es 1 ya que todas las filas son iguales
tomamos la matriz ampliada
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
El rango es 1 ya que todas las filas son iguales, como el rango de la ampliada es igual al rango de la matriz de coeficientes el sistema es compatible indeterminado.
Si el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada el sistema es compatible, si es menor que el número de incógnitas sera indeterminado. El rango de la matriz ampliada es igual mayor rango de las matrices cuadradas que cuedes formar con sus filas y columnas.
Si el rango de la matriz ampliada no coincide con la de coeficientes entonces el sistema es incompatible
Ejemplo:
a+Kb= 0
ax+b = 0
det(1-K^2)
*Si sudeterminante es igual a cero es decir si K = +-1 Por lo que su rango es 1, ahora tendríamos a ver el rango de la matriz de coeficientes, pero en este caso al añadir una columna de todos 0 no aumentará el rango, aun así lo realizo.
considero las dos matrices de orden 2 que puedo formar para k=+1
1 0 1 0
1 0 y 1 0 en ambos casos el rango es 1, por lo que para k=1 el rango de la ampliada es 1, que coincide con el de la matriz de coeficientes, por lo que compatible indeterminado
k=+1
1 0 -1 0
-1 0 y 1 0 en ambos casos el rango es 1, por lo que para k=-1 el rango de la ampliada es 1, que coincide con el de la matriz de coeficientes, por lo que compatible indeterminado
Vamos con el otro ejemplo
Kx + y + z = 1
x + Ky + z = 1
x + y + Kz = 1
la matriz de coeficientes es
k 1 1
1 k 1
1 1 k
su determinante es k^3-3k+2
lo igualamos a 0
k^3-3k+2=0 --> k=1 y k=-2 en estos valores el rango no es 3
en el caso k=-2 el rango es 2 ya que si tomamos el menor de orden 2 que formam las dos primeras filas y las dos primeras columnas tenemos
-2 1
1 -2 su derterminante es -5 distinto de 0, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es 2
tomamos la matriz ampliada
-2 1 1 1
1 -2 1 1
1 1 -2 1
si tomamos la matriz 3x3 formada por las tres ultimas columnas
1 1 1
-2 1 1
1 -2 1
Su determinante es 9 distinto de 0 por lo que su rango es 3, como el rango de la amplidad es mayor que el rango de la de coeficientes es incompatible
En el caso k=1 el rango es 1 ya que todas las filas son iguales
tomamos la matriz ampliada
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
El rango es 1 ya que todas las filas son iguales, como el rango de la ampliada es igual al rango de la matriz de coeficientes el sistema es compatible indeterminado.
