Ayuda para resolver ejercicios de matemáticas sobre cálculo de puntos y extremos en funciones
Por favor ayudadme con alguno de estos ejercicios se medianamente hacerlos pero me falta la ultima parte y no se si esta bien :S.
Estudiados los extremos locales de la función z(x,y) = +x^3 +x^2*y +y^2 +5/4 cuenta con varios puntos críticos, de los cuales:
A) Solo uno es un mínimo.
B) Solo uno es un máximo.
C) No tiene extremos locales.
D) Al menos, uno es máximo y otro es un mínimo.
Encontrar los extremos locales de la función f(x, y) = 3xe^y -x^3 -e^(3y)
A) Punto de silla en (1,0)
B) No tiene mínimos locales y tiene un máximo en el punto (1,0)C) Ninguna de las otras respuestas es válidaD) Extremos en (1,0) y (0,0)
Estudiados los extremos locales de la función z(x,y) = +x^3 +x^2*y +y^2 +5/4 cuenta con varios puntos críticos, de los cuales:
A) Solo uno es un mínimo.
B) Solo uno es un máximo.
C) No tiene extremos locales.
D) Al menos, uno es máximo y otro es un mínimo.
Encontrar los extremos locales de la función f(x, y) = 3xe^y -x^3 -e^(3y)
A) Punto de silla en (1,0)
B) No tiene mínimos locales y tiene un máximo en el punto (1,0)C) Ninguna de las otras respuestas es válidaD) Extremos en (1,0) y (0,0)
1 Respuesta
Respuesta de canalrev
1
f(x,y) = x^3 +x^2*y +y^2 +5/4
llamaremos fx fy a las derivadas parciales y fxx, fxy, fyy a las derivadas segundas.
Calculamos sus derivadas parciales y las igualamos a 0
fx=3x^2+2x --> fx=0 --> 3x^2+2x=0 --> x=0, x=-2/3
fy=2y ->fy=0 --> 2y=0 --> y=0
Por lo que tenemos dos puntos críticos (0,0) y (-2/3,0)
calculamos las derivadas segundas
fxx=6x+2
fxy=0
fyy=2
sea H(a,b) = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]^2.
H(0,0)=2·2-0^2=4 como H>0 y fxx>0 es un mínimo
H(-2/3,0)= (-4+2)·2-0^2=-2 como H<0 es un punto de silla
Por lo que la solución es A) solo uno es mínimo.
f(x,y) = 3xe^y -x^3 -e^(3y)
Calculamos sus derivadas parciales y las igualamos a 0
fx=3e^y-3x^2 --> fx=0 --> 3e^y-3x^2=0 --> e^y=x^2
fy=3xe^y-3e^(3y) ->fy=0 --> 3xe^y-3e^(3y)=0 --> e^y(x-e^(2y))=0 como e^y >0 para todo y nos queda x-e^(2y)=0 ---> x=e^(2y)
tenemos el sistema
e^y=x^2
x=e^(2y)
sustituyendo la segunda en la primera e^y=(e^(2y))^2 --> e^y=e^(4y) --> y=4y -> y=0, y=-1, y=1
Sustituyendo la segunda en la primera x=x^4 --> x=0, x=1, x=-1
Por lo que tiene 9 puntos críticos (0,0), (0,-1), (0,1), (1,0), (1,-1), (1,1),(-1,0), (-1,-1), (-1,1),
calculamos las derivadas segundas
fxx=-6x
fxy=3e^y
fyy=3xe^y-9e^(3y)
sea H(a,b) = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]^2.
H(x,y)=(-6x)(3xe^y-9e^(3y))-9e^(2y)
H(0,0)=-9 como H<0 punto de silla
H(0,1)=-9e^3 como H<0 punto de silla
H(0,-1)=-9e^(-3) como H<0 punto de silla
H(1,0)=27 como H>0 y fxx<0 --> máximo
H(1,1)=-18e+54e^3-9e^2 como H>0 y fxx<0 -->máximo
H(1,-1)=-18e^(-1)+54e^(-3)-9e^(-2) como H<0 punto de silla
H(-1,0)=-45 como H<0 punto de silla
H(-1,1)=-18e-54e^3-9e^2 como H<0 punto de silla
H(-1,-1)=-18e^(-1)-54e^(-3)-9e^(-2) como H<0 punto de silla
Por lo que tiene máximos en (1,0) y (1,1)
Por lo que c) Ninguna de las otras es válida, aunque la B lo es parcialmente, ya que no dice mentira, pero le falta otro máximo.
Repasa las cuentas por si me he confundido.
llamaremos fx fy a las derivadas parciales y fxx, fxy, fyy a las derivadas segundas.
Calculamos sus derivadas parciales y las igualamos a 0
fx=3x^2+2x --> fx=0 --> 3x^2+2x=0 --> x=0, x=-2/3
fy=2y ->fy=0 --> 2y=0 --> y=0
Por lo que tenemos dos puntos críticos (0,0) y (-2/3,0)
calculamos las derivadas segundas
fxx=6x+2
fxy=0
fyy=2
sea H(a,b) = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]^2.
H(0,0)=2·2-0^2=4 como H>0 y fxx>0 es un mínimo
H(-2/3,0)= (-4+2)·2-0^2=-2 como H<0 es un punto de silla
Por lo que la solución es A) solo uno es mínimo.
f(x,y) = 3xe^y -x^3 -e^(3y)
Calculamos sus derivadas parciales y las igualamos a 0
fx=3e^y-3x^2 --> fx=0 --> 3e^y-3x^2=0 --> e^y=x^2
fy=3xe^y-3e^(3y) ->fy=0 --> 3xe^y-3e^(3y)=0 --> e^y(x-e^(2y))=0 como e^y >0 para todo y nos queda x-e^(2y)=0 ---> x=e^(2y)
tenemos el sistema
e^y=x^2
x=e^(2y)
sustituyendo la segunda en la primera e^y=(e^(2y))^2 --> e^y=e^(4y) --> y=4y -> y=0, y=-1, y=1
Sustituyendo la segunda en la primera x=x^4 --> x=0, x=1, x=-1
Por lo que tiene 9 puntos críticos (0,0), (0,-1), (0,1), (1,0), (1,-1), (1,1),(-1,0), (-1,-1), (-1,1),
calculamos las derivadas segundas
fxx=-6x
fxy=3e^y
fyy=3xe^y-9e^(3y)
sea H(a,b) = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]^2.
H(x,y)=(-6x)(3xe^y-9e^(3y))-9e^(2y)
H(0,0)=-9 como H<0 punto de silla
H(0,1)=-9e^3 como H<0 punto de silla
H(0,-1)=-9e^(-3) como H<0 punto de silla
H(1,0)=27 como H>0 y fxx<0 --> máximo
H(1,1)=-18e+54e^3-9e^2 como H>0 y fxx<0 -->máximo
H(1,-1)=-18e^(-1)+54e^(-3)-9e^(-2) como H<0 punto de silla
H(-1,0)=-45 como H<0 punto de silla
H(-1,1)=-18e-54e^3-9e^2 como H<0 punto de silla
H(-1,-1)=-18e^(-1)-54e^(-3)-9e^(-2) como H<0 punto de silla
Por lo que tiene máximos en (1,0) y (1,1)
Por lo que c) Ninguna de las otras es válida, aunque la B lo es parcialmente, ya que no dice mentira, pero le falta otro máximo.
Repasa las cuentas por si me he confundido.
