Combinación o Permutación

a)
en este caso las posibilidades son permutaciones de 6 o lo que es lo mismo variaciones de 6 elemento tomados de 6 en 6 = 6!=6·5·4·3·2·1= 720  itinerarios diferentes.
b)
En este caso no es necesario aplicar combinatoria, ya que hay las mismas posibilidades de que sea una antes que la otra, por lo que la probabilidad es 1/2 o 0,5

La verdad es que es por lógica, pues no hay ninguna razón para que sea más posible que visite primero una ciudad que otra, ya que en el enunciado no se dice nada.

Tenemos 6 ciudades, entonces tenemos 720 itinerarios diferentes. Son permutaciones
La fórmula es 6! = 720
b)Este apartado también es sencillo pero es un poco más laborioso, vamos a utilizar la definición de probabilidad de Laplace, es decir, casos favorables entre casos posibles,
sabemos que los casos posibles son 720.
Ahora vamos a calcular ls casos favorables
una primera opción que tenemos es contar los itinerarios en las que denver es la primer ciudad.
Entonces tenemos
5! = 120
Porque hemos fijado la primer ciudad como Denver y nos quedan 5 ciudades que pueden estar puestas de 120 formas diferentes.
Luego si
Denver está en la segunda posición tenemos que
X:Denver:X:X:X:X
Entonces detrás tenemos que hay 4 ciudades entonces esas 4 se pueden poner de 4! Formas diferentes, es decir, de 24 formas., pero la primera pueden ser 4, entonces tenemos que las combinaciones totales son
4!·4 = 120 itineraciones diferentes con Denver en la segunda posición y SF después-
Ahora vamos a
X:X:Denver:X:X:X
Es decir, denver en la tercera posición, entonces detrás nos quedan tres ciudades
es decir 3! Pero delante tenemos 2, que son combinaciones ordinarias, entonces para esas dos tenemos 6 posibles combinaciones entonces en total es
3!·6 = 36
Y así con todas las posiciones
para X:X:X:Denver:X:X hay 8 y para
X:X:X:X:Denver:X hay 24
Entonces en total hay 308 itinerarios en los que Denver está por delante de San francisco, es decir, entonces la probabilidad es
308/720 = 0.4277778
Las fómulas del factorial y combinación las encuentras muy rápido en google.

Yo lo resolví de la siguiente manera

Al ocupar Denver como la primera ciudad y sin importar el orden de las 5 siguientes tenemos rápido la respuesta que es 5! = 120

Cuando ocupamos a Denver como la segunda ciudad, se empieza a complicar el asunto y se elige la primera ciudad de las 4 ciudades disponibles, es decir se ocupa el teorema de 4 de 1, como las siguientes ciudades ya no importan el orden se usa 4!

 4!/(4-1)! + 4 ! = 28
Con este resultado lo multiplicamos por 4 que es el numero de veces que SF puede estar en la sig ciudades, es decir de la sig manera:

X:Denver:SF:X:X:X

X:Denver:X:SF:X:X

X:Denver:X:X:SF:X

X:Denver:X:X:X:SF

Entonces tenemos 28*4 = 112

Hacemos lo mismo con el siguiente:

Cuando Denver esta en la tercer ciudad

X:X:Denver:X:X:X

Del lado izquierdo se aplica el teorema donde podemos tomar 4 de 2 ciudades disponibles, mientras del lado derecho no se necesita orden así que se usa 3! Directamente dándonos como resultado:
4!/(4-2)! + 3 ! = 18
Este mismo resultado se multiplica por 3, que es la manera en que SF puede estar colocado del lado derecho 18 * 3 =54

Los siguientes resultados solamente es cuestión de aplicar lo mismo pero con diferencia de uno, es decir desde el principio:

5!                                 = 120

4!/(4-1)! + 4 ! = 28 * 4 =112

4!/(4-2)! + 3 ! = 18 * 3 = 54

4!/(4-3)! + 2 ! = 26 * 2 =52

4!/(4-4)! + 1 ! = 25 * 1 = 25

Se suman los resultados y nos da 363
Para sacar la probabilidad solamente se divide el resultado entre 720 y nos da: .5041 un aproximado del 50%

$$\begin{align}&%\end{align}$$

$$\begin{align}&%\end{align}$$

$$\begin{align}&%\end{align}$$

Hola. Sé que este es un post viejo, pero en vista de que nadie llega a la respuesta de la manera correcta quiero publicar mi solución.

• Supón que al inicio se escoge Denver.
  • esto significa que tenemos la siguiente disposición: D*5*4*3*2*1.
  • D está fijo y su valor es 1. Esto asegura que san Francisco esté en cualquiera de las posiciones restantes.
• Ahora supón que está en la segunda posición
  • La primera posición puede estar ocupada por cualquiera de las 6 ciudades, excepto por Denver y San Francisco, es decir 4 ciudades.
  • Tenemos 4*D*4*3*2*1
  • La segunda posición fija corresponde a 1.
  • En la tercera ya no puede ir Denver, tampoco puede ir la de la primera posición. Nos quedan 4. Estas 4 se pueden arreglar en cualquier orden, es decir de 4! Formas.
• Ahora supón que está en la tercera posición.
  • La primera puede ser cualquiera excepto Denver y San Francisco, es decir 4 ciudades.
  • La segunda puede ser cualquiera excepto Denver ni San Francisco y ni la de la primera posición, es decir 3 ciudades..
  • Tenemos 4*3*D*3*2*1
  • La tercera posición está fija.
  • En la cuarta puede estar cualquiera excepto Denver, excepto la de la primera posición y excepto la de la segunda posición. Sin embargo aquí sí puede estar San Francisco. Esto nos deja con 3 ciudades para permutar.
• Ahora supón que está en la cuarta posición.
  • siguiendo el patrón: 4*3*2*D*2*1
  • La primera puede ser cualquiera excepto Denver y San Francisco, es decir 4 ciudades.
  • La segunda puede ser cualquiera excepto Denver ni San Francisco y ni la de la primera posición, es decir 3 ciudades.
  • La tercera puede ser cualquiera excepto Denver, tampoco San Francisco, tampoco la de la primera posición ni la de la segunda posición, es decir 2 ciudades.
• Si está en la quinta posición:
  • 4*3*2*1*D*1

Resumiendo

• 5!
• 4*4!
• 4*3*1*3*2*1=4*3*2*1*3=3*4!
• 4*3*2*1*2*1=4*3*2*1*2=2*4!
• 4*3*2*1*1*1=4!

(Simplemente reordené los factores para expresarlos en forma factorial.)

En total existen 5! + 4*4! + 3*4! + 2*4! + 4! = 5! + (4+3+2+1)*4!=5! + 10*4!

Este número es igual a 360.

Ahora dividimos el número de casos favorables entre el número total de casos posibles. Tenemos 360/720 = 1/2 = 0.5

Eso explica lo que en realidad es obvio: tanto Denver como San Francisco son igualmente probables de ser escogidos primero uno antes que el otro. Total de casos posibles 2. Casos favorables para Denver: 1. Casos favorables para San Francisco: 1. Probabilidad de escoger a Denver primero: 1/2.