Anónimo
Pregunta teórica de matrices
Buenos días, antes de nada muchas gracias.
Mi pregunta es la siguiente:
Tenemos una matriz A Mmxn(R) y B Mm'xn(R) que es una matriz añadiento m'-m filas a la matriz A.
Mis preguntas son las siguientes:
a) ¿rang(A) es el numero máximo de filas linialmente independientes de A?
b) ¿rang(A) es el tamaño máximo de una sumatriz invertible de A?
Espero respuesta, gracias.
Mi pregunta es la siguiente:
Tenemos una matriz A Mmxn(R) y B Mm'xn(R) que es una matriz añadiento m'-m filas a la matriz A.
Mis preguntas son las siguientes:
a) ¿rang(A) es el numero máximo de filas linialmente independientes de A?
b) ¿rang(A) es el tamaño máximo de una sumatriz invertible de A?
Espero respuesta, gracias.
1 respuesta
Respuesta de canalrev
1
Me despista que en el enunciado me hables de una matriz B y luego solo hagas preguntas sobre A.
De todos modos intentaré resolver tus dudas.
Para ello tomaré las siguientes definiciones de rango de una matriz.
Definición 1º
RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Definición 2º
RANGO de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
A)
Es cierto, por definición (definición 2)
B)
Teniendo en cuenta la definición 1, y que Llamamos menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
Las submatrices invertibles coinciden con los menores distintos de 0, ya que son las que su determinante es distinto de 0.
Por lo que es cierto.
Si no he dejado claro algo no dudes en comunicármelo.
De todos modos intentaré resolver tus dudas.
Para ello tomaré las siguientes definiciones de rango de una matriz.
Definición 1º
RANGO (o característica) de una matriz es el orden del mayor de los menores distintos de cero. Por tanto, el rango no puede ser mayor al número de filas o de columnas.
Definición 2º
RANGO de una matriz es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.
A)
Es cierto, por definición (definición 2)
B)
Teniendo en cuenta la definición 1, y que Llamamos menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).
Las submatrices invertibles coinciden con los menores distintos de 0, ya que son las que su determinante es distinto de 0.
Por lo que es cierto.
Si no he dejado claro algo no dudes en comunicármelo.
Perdón se me olvido mencionar que el problema es
Probar de las dos maneras diferentes que rang(A)<=rang(b), utilizando en cada ocasión una visión diferent del concepto de rango; a) y b)
Probar de las dos maneras diferentes que rang(A)<=rang(b), utilizando en cada ocasión una visión diferent del concepto de rango; a) y b)
1) Como B se forma con las filas de A añadiéndole nuevas filas, lo que es seguro es que las filas que eran linealmente independientes en A lo son en B, por lo que B tiene por lo menos tantas filas linealmente independientes como A. Por lo que su rango al menos sera tan grande como el de A.
2) Como B se forma con las filas de A añadiéndole nuevas filas, la submatriz de A máxima que tiene inversa también es submatriz de B, por lo que al menos tiene el mismo rango que A.
Si no me explico bien dímelo.
2) Como B se forma con las filas de A añadiéndole nuevas filas, la submatriz de A máxima que tiene inversa también es submatriz de B, por lo que al menos tiene el mismo rango que A.
Si no me explico bien dímelo.