¿Converge la serie?

Estas dos series son convergentes, la demostración en los dos casos lo haremos de manera similar, acotando las series por otras mayores que ellas, que son convergentes a 0, por lo que ellas serán convergentes a 0.
1)
3^N / (2^n + 4^n) <  3^n / 4^n  porque el denominador (2^n + 4^n) es siempre mayor que 4^n para n >0
3^N / 4^n = (3/4)^n que converge a 0 cuando n tiende a infinito por que 3/4 < 1.
Por lo que 3^n / (2^n + 4^n) converge a 0.
2)
1 /( (n^3 + n^2)^1/3) < 1 /( (n^3 )^1/3)  porque el denominador (n^3 + n^2)^1/3 es siempre mayor que (n^3 )^1/3 para n >0
1 /( (n^3 )^1/3)=1/n que converge a 0 cuando n tiende a infinito
Por lo que 3^n / (2^n + 4^n) converge a 0.
Espero que te sea suficiente esta demostración, si necesitas algo más házmelo saber.

Hola... la demostración no se puede hacer por algún método como: integral, ¿cociente o raíz..? Es que las series las estamos demostrando por esos métodos..,,

Perdona, entendí mal la pregunta y solo calcule el limite de la sucesión y no el sumatorio
1) Por el Criterio de Cauchy o de la Raíz
 lim(3^n / (2^n + 4^n))^(1/n) = lim 3/(2·(1+2^n)^(1/n))=(3/2) ·(1/lim (1+2^n)^(1/n))= =(3/2) ·(1/2) = 3/4 <1 por lo que converge.
2)
Criterio de comparación directa ( de la mayorante o de Gauss ) dice que dadas dos series a(n) y b(n)
Si 0<a(n)<b(n)
Si b(n) converge entonces a(n) converge
Si a(n) diverge entonces b(n) diverge
0 < 1 /( (n^3 + n^3)^1/3)<1 /( (n^3 + n^2)^1/3) entonces
0 < 1/(2^3 · (n^3)^(1/3)) < 1 /( (n^3 + n^2)^1/3)
0 < 1/((2^3) ·n) < 1 /( (n^3 + n^2)^1/3)
Como la serie 1/n diverge la serie 1/((2^3) ·n) también diverge, por lo que aplicado el criterio 1 /( (n^3 + n^2)^1/3) también diverge.
Si no te vale este criterio dime todos los que has dado e intento hacerlo de manera asequible por alguno de ellos (por el de la razón no da ni convergente ni divergente)
Por el de la integral, sale una integral nada fácil de resolver y por el de la raíz sale un límite complejo.
Un saludo y lamento haberte entendido mal en el primer intento.

Hola.. oye en tu primera solución, en la parte que tienes.. (1/lim (1+2^n)^(1/n))= (1/2) me perdí en como sacaste el 1/2
Pues en el otro ejercicio... te comento que solo los estamos resolviendo, por cociente, raíz, e integral...

lim (1+2^n)^(1/n)) sacas factor común a 2^n dentro de la raiz = lim(2^n(1+1/(2^n)^(1/n)) = lim 2 · (1+1/(2^n)^(1/n)) = 2 · (lim(1+1/(2^n)^(1/n)) = 2 · (1+0)^0=2
por lo que 
(1/lim (1+2^n)^(1/n))= (1/2).
La segunda no la veo factible por los métodos que has estudiado, pero lo seguiré intentando

Ok... ya entendí tu respuesta.. gracias..! Pues la otra ya la intente por los métodos... pero no me da nada...