Buenas,
Para el problema dos no te puedo decir nada, creo que el dibujo es parte esencial del mismo y no lo veo.
Pero para el uno, te puedo decir como hacerlo.
Se trata de un problema de optimización, por lo tanto lo único que tienes que hacer es plantear la función a optimizar y calcular su mínimos y máximos.
Lo hacemos como sigue
Llamo C1 a las caras de arriba y abajo que cuestan 18 por centímetro cuadrado. Por ser rectangular, tendrá los lados iguales dos a dos, los llamo L1 y L2
Llamo C2 a las caras anterior y posterior, al igual que antes, tiene dos lados iguales y además comparte un lado con C1, entonces para estas caras, los lados son L1 y L3.
Para las otras dos caras, ya tenemos la longitud de los lados: L3 y L2.
Ahora planteamos el problema:
C1=L1L2, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*18*L1L2 centavos
C2=L1L3, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*16*L1L3 centavos
C3=L2L3, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*12*L2L3 centavos
El volumen es L1L2L3=16 (centímetros cúbicos)
Y el coste total es de 2*18*L1L2+2*16*L1L3+2*12*L2L3, ha esto lo llamamos F que es la función a analizar. Observa que del volumen podemos prescindir de una de las variables y dejarla en función de las otras dos, por ejemplo, L1=16/(L2L3) y eso lo ponemos en F. F es pues una función de dos variables.
Esa función es la que deberías representar en el plano y estudiar sus características.
Para saber el mínimo, lo que tienes que hacer es calcular la derivada con respecto a las variables e igualar a cero. Con los puntos que te de, debes de ver si se trata de un máximo (la matriz hessiana en el punto es inferior a cero) o un mínimo (la matriz hessiana es negativa) y elegir entre los mínimos el mínimo absoluto.
Te adjunto el cálculo de L2 y L3
aquí. De ahí puedes despejar L1.
Tampoco te pongo la comprobación de que es un mínimo, pero dado que calculamos un coste, ya te aseguro que es un mínimo, pues la función es convexa y diferenciable y no puede tratarse de un máximo.
Espero que te sirva
