Necesito ayuda con un problema de calculo III
Los siguientes problemas se trata de irlos desarrollando poco a poco y por completo. Esta actividad es planteamiento de los problemas con funciones, analizando su gráfica y sus puntos extremos. Ya definidos los conceptos de límite y continuidad, se requiere verificar estas propiedades en los puntos extremos de la función. De ser posible, obtener la solución de forma geométrica y numérica
1.- Una caja rectangular cerrada que contendrá 16 cm3. Se va a fabricar con tres tipos de material. El costo del material que llevará en las caras superior e inferior es de 18 centavos por cm2; el costo del frente y la cara posterior es de 16 centavos por cm2, y el de las dos caras restantes es de 12 centavos por cm2. Calcule las dimensiones de la caja tales que el costo del material sea mínimo.
2.- Una ventana tiene la forma de un triángulo isósceles montado en un rectángulo. El perímetro de la ventana mide 20m. ¿Cuáles valores de por, y,? ¿Producen la máxima área total?
Aquí abajo hay un dibujo que es un rectángulo y esta unido con la parte de arriba con un triangulo.
Por ultimo, tengo demasiados problemas con esta materia mi maestra tiene una manera muy por así decirlo... Diferente de dar clases, es como si estuviera platicando otra cosa y garabatea todo el pizarrón pero al final nunca aterriza los temas, y eso me desespera mucho..
Los problema anterior lo empezamos a ver en clases pero nunca supe si los terminamos(siempre entro a todas mis clases) o si se le olvido terminarlo por que empezamos a ver curvas en al espacio y cosas así ... Y me quede volando..!
Espero que me pueda brindar su ayuda y que pueda compartir su conocimiento conmigo, si me pudiera aconsejar algo se lo agradecería mucho..
1.- Una caja rectangular cerrada que contendrá 16 cm3. Se va a fabricar con tres tipos de material. El costo del material que llevará en las caras superior e inferior es de 18 centavos por cm2; el costo del frente y la cara posterior es de 16 centavos por cm2, y el de las dos caras restantes es de 12 centavos por cm2. Calcule las dimensiones de la caja tales que el costo del material sea mínimo.
2.- Una ventana tiene la forma de un triángulo isósceles montado en un rectángulo. El perímetro de la ventana mide 20m. ¿Cuáles valores de por, y,? ¿Producen la máxima área total?
Aquí abajo hay un dibujo que es un rectángulo y esta unido con la parte de arriba con un triangulo.
Por ultimo, tengo demasiados problemas con esta materia mi maestra tiene una manera muy por así decirlo... Diferente de dar clases, es como si estuviera platicando otra cosa y garabatea todo el pizarrón pero al final nunca aterriza los temas, y eso me desespera mucho..
Los problema anterior lo empezamos a ver en clases pero nunca supe si los terminamos(siempre entro a todas mis clases) o si se le olvido terminarlo por que empezamos a ver curvas en al espacio y cosas así ... Y me quede volando..!
Espero que me pueda brindar su ayuda y que pueda compartir su conocimiento conmigo, si me pudiera aconsejar algo se lo agradecería mucho..
1 respuesta
Respuesta de boloncio
1
Para el problema dos no te puedo decir nada, creo que el dibujo es parte esencial del mismo y no lo veo.
Pero para el uno, te puedo decir como hacerlo.
Se trata de un problema de optimización, por lo tanto lo único que tienes que hacer es plantear la función a optimizar y calcular su mínimos y máximos.
Lo hacemos como sigue
Llamo C1 a las caras de arriba y abajo que cuestan 18 por centímetro cuadrado. Por ser rectangular, tendrá los lados iguales dos a dos, los llamo L1 y L2
Llamo C2 a las caras anterior y posterior, al igual que antes, tiene dos lados iguales y además comparte un lado con C1, entonces para estas caras, los lados son L1 y L3.
Para las otras dos caras, ya tenemos la longitud de los lados: L3 y L2.
Ahora planteamos el problema:
C1=L1L2, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*18*L1L2 centavos
C2=L1L3, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*16*L1L3 centavos
C3=L2L3, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*12*L2L3 centavos
El volumen es L1L2L3=16 (centímetros cúbicos)
Y el coste total es de 2*18*L1L2+2*16*L1L3+2*12*L2L3, ha esto lo llamamos F que es la función a analizar. Observa que del volumen podemos prescindir de una de las variables y dejarla en función de las otras dos, por ejemplo, L1=16/(L2L3) y eso lo ponemos en F. F es pues una función de dos variables.
Esa función es la que deberías representar en el plano y estudiar sus características.
Para saber el mínimo, lo que tienes que hacer es calcular la derivada con respecto a las variables e igualar a cero. Con los puntos que te de, debes de ver si se trata de un máximo (la matriz hessiana en el punto es inferior a cero) o un mínimo (la matriz hessiana es negativa) y elegir entre los mínimos el mínimo absoluto.
Te adjunto el cálculo de L2 y L3 aquí. De ahí puedes despejar L1.
Tampoco te pongo la comprobación de que es un mínimo, pero dado que calculamos un coste, ya te aseguro que es un mínimo, pues la función es convexa y diferenciable y no puede tratarse de un máximo.
Pero para el uno, te puedo decir como hacerlo.
Se trata de un problema de optimización, por lo tanto lo único que tienes que hacer es plantear la función a optimizar y calcular su mínimos y máximos.
Lo hacemos como sigue
Llamo C1 a las caras de arriba y abajo que cuestan 18 por centímetro cuadrado. Por ser rectangular, tendrá los lados iguales dos a dos, los llamo L1 y L2
Llamo C2 a las caras anterior y posterior, al igual que antes, tiene dos lados iguales y además comparte un lado con C1, entonces para estas caras, los lados son L1 y L3.
Para las otras dos caras, ya tenemos la longitud de los lados: L3 y L2.
Ahora planteamos el problema:
C1=L1L2, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*18*L1L2 centavos
C2=L1L3, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*16*L1L3 centavos
C3=L2L3, con un coste de fabricación para las dos caras de 2*12*L2L3 centavos
El volumen es L1L2L3=16 (centímetros cúbicos)
Y el coste total es de 2*18*L1L2+2*16*L1L3+2*12*L2L3, ha esto lo llamamos F que es la función a analizar. Observa que del volumen podemos prescindir de una de las variables y dejarla en función de las otras dos, por ejemplo, L1=16/(L2L3) y eso lo ponemos en F. F es pues una función de dos variables.
Esa función es la que deberías representar en el plano y estudiar sus características.
Para saber el mínimo, lo que tienes que hacer es calcular la derivada con respecto a las variables e igualar a cero. Con los puntos que te de, debes de ver si se trata de un máximo (la matriz hessiana en el punto es inferior a cero) o un mínimo (la matriz hessiana es negativa) y elegir entre los mínimos el mínimo absoluto.
Te adjunto el cálculo de L2 y L3 aquí. De ahí puedes despejar L1.
Tampoco te pongo la comprobación de que es un mínimo, pero dado que calculamos un coste, ya te aseguro que es un mínimo, pues la función es convexa y diferenciable y no puede tratarse de un máximo.
Con respecto al problema 2 aquí esta la imagen la pegue en un blog para que me siga ayudando es que estoy muy satisfecho con sus respuestas.
http://laimagendelproble.blogspot.com/2009/10/la-imagen-del-problema.html
Esta es la imagen del problema...
¿Ahora lo que resolvió del problema uno es un parte solo es comprobar vdd..? Ademas en el archivo que me adjunto en la última parte me repite L2.. usted se refería a L2 y L3(error de letra)...
Ahora regresando a la primera parte con los valores de L1 L2 y L3 los aplico en la c2 c2 y c3 y resuelvo...
Pero una pregunta espero ser lo más claro posible
el valor para L1 que aplico en C1
es el mismo para L1 que aplico en C2
bueno eso es todo..! Espero su repuesta y muchas gracias por atenderme..!
¿Una ultima pregunta puedo estar consultando más problemas de este tipo más adelante .?
http://laimagendelproble.blogspot.com/2009/10/la-imagen-del-problema.html
Esta es la imagen del problema...
¿Ahora lo que resolvió del problema uno es un parte solo es comprobar vdd..? Ademas en el archivo que me adjunto en la última parte me repite L2.. usted se refería a L2 y L3(error de letra)...
Ahora regresando a la primera parte con los valores de L1 L2 y L3 los aplico en la c2 c2 y c3 y resuelvo...
Pero una pregunta espero ser lo más claro posible
el valor para L1 que aplico en C1
es el mismo para L1 que aplico en C2
bueno eso es todo..! Espero su repuesta y muchas gracias por atenderme..!
¿Una ultima pregunta puedo estar consultando más problemas de este tipo más adelante .?
Claro que el L1 para C1 es el mismo que el L1 para C2. Te aconsejo que dibujes una cubo e identifiques tanto los lados como las caras para que te hagas una idea de lo que estamos haciendo.
Más tarde echaré un vistazo al dibujo que me adjuntas, ahora no puedo por temas de trabajo.
Con respecto a preguntarme más adelante: mientras tenga tiempo para contestar no habrá problema, pero no puedo compremeterme en tiempos.
Saludos,
Miguel
PD: no cierres todavía la pregunta
Más tarde echaré un vistazo al dibujo que me adjuntas, ahora no puedo por temas de trabajo.
Con respecto a preguntarme más adelante: mientras tenga tiempo para contestar no habrá problema, pero no puedo compremeterme en tiempos.
Saludos,
Miguel
PD: no cierres todavía la pregunta
